« список статей

Александр Нечипоренко

О геометрическом проецировании
как особой конструктивной модели знания

Часть I

Среди различных понятий и моделей знания особый интерес представляет модель "проецирования", в которой знание рассматривается как проекция объекта в определенном ракурсе. Анализ "модели проецирования" на различных примерах призван дать материал для прослеживания понятия "знания" в его развитии, и послужить выработке программы разработок содержательной эпистемологии в контексте создания знаниевых технологий. Автор выражает благодарность Д.Ю.Власову и А.В.Елашкиной за содержательное обсуждение проблематики.

Содержание

Введение 1. Модель проецирования 2. Подход Ф.Клейна 3. Промежуточный итог: два вида "модели проецирования" 4. Релятивизм в физике 5. Подход Г.Крона 6. Подход П.Г.Кузнецова Заключение первой части Литература

Введение  

Цель

Разработка пост-информационных технологий (знаниевых), создание баз знаний и систем искусственного интеллекта требует конструктивного ответа на вопрос, что такое знание.

Требуются формализованные модели знания и мышления, в которых синтезированы математический аппарат и современные философско-методологические схемы.

Требования к модели знания

"Технические требования" к модели знания могут быть сформулированы следующим образом. Модель должна обеспечивать формализованное описание и конструктивное построение процессов мышления, по крайней мере, для трех типов практических ситуаций:

1) Решить задачу. Известен способ решения некоторого вида задач; при определенном усложнении условия задач он перестает "работать". Построить способ решения задач нового вида.

Например, известно, как описать соударение двух одинаковых шаров, налетающих друг на друга с равными скоростями. Требуется описать соударение в случае, когда движется один шар, а другой покоится.

В этом типе ситуаций знание функционально определяется как средство мыслительной деятельности. Предполагается, что при этом используются не только предметные знания об объектах задач, но и рефлексивные мета-знания о способах - об операциях и инструментах деятельности.

2) Узнать о неизвестном объекте. Объект задан своим названием, некоторыми первичными сведениями о нем, но неизвестно, что он есть.

В рамках этой ситуации возникает особое различение информации и знания. Понятие информации в строгом виде применимо только если рассматриваются сведения о известном, но недоопределенном объекте. Например, в ответ на вопрос "Где находится центр Западно-Сибирского Федерального Округа" ответом будет - "В Новосибирске". Здесь однозначно ясно, о чем идет речь: об административной единице сегодняшней РФ, и о месте пребывания полпреда. Совсем другой случай возникает при вопросе "Что происходит в экономике Западно-Сибирского региона?" Хотя объект и называется, он, по сути, неизвестен: чтобы ответить на вопрос, нужно сначала построить модель экономической системы региона. Мы функционально определяем знание в рамках случаев второго рода, по отношению к неизвестным объектам.

3) Синтезировать частные знания

Даны два различных, даже противоречащих друг другу знания об одном и том же объекте. Требуется осуществить объединение знаний в единую (непротиворечивую) систему и, тем самым, получить новое, более полное знание об объекте.

Пример подобной ситуации приведен в известной притче о слепых мудрецах, которые ощупывали слона с разных сторон. Ситуации такого типа называются проблемными. Для их разрешения также необходимо построение и использование рефлексивных мета-знаний.

Предмет и задача данного исследования

Среди различных понятий и моделей знания особый интерес представляет модель "проецирования", в которой знание рассматривается как проекция объекта в определенном ракурсе. Воспроизводясь в европейской мысли от времен Платона, эта модель играет важную роль в ряде фундаментальных философских, научных, инженерных, методологических программ. Можно предположить, что она выступила ведущей в разработке релятивистской физики, и с тех пор периодически привлекалась разными авторами в качестве основы синтеза таких противоположных областей, как математика, естественные науки с одной стороны и философия, гуманитарные науки - с другой.

Эта модель интересна тем, что она явно содержит в себе фигуру "наблюдателя", или "позицию". Также в ней содержатся формальные операции и средства работы с объектом и его изображениями по отдельности, по разным правилам. Тем самым "модель проецирования" оказывается ключевой идеей для построения "содержательной логики", альтернативной "формальной логике".

Задача настоящего текста - реферативный обзор материала. Цель обзора - выделить примеры и образцы использования разными авторами "модели проецирования" в качестве логического правила или методологического средства.

Структура и материал реферативного обзора

В первой части обзора рассматриваются естественнонаучные работы. Центральным является метод американского инженера Г.Крона; мы прежде всего будем опираться на его работу "Тензорный анализ сетей" [7]. Для нас важным является то, что идеи Г.Крона привлекали внимание В.Н.Елашкина при разработке Е-подхода к построению систем искусственного интеллекта. Интересной представляется попытка использовать аппарат Крона при создании баз знаний, описанная в книге А. Е. Арменского [1]. В обзоре мы также будем постоянно относиться к интерпретации метода Крона в работах И.Р. Березуева ([2],[3]). Культурными предпосылками для Г.Крона были труды А.Эйнштейна и разработки Ф.Клейна в области геометрии. Поэтому обзор начинается рассмотрением идей Эрлангенской программы Ф.Клейна и примера релятивизма в физике (классической). Завершает первую часть описание подхода П.Г.Кузнецова к построению мета-логики комплексных полипредметных исследований.

Помимо общих задач работы, описанных выше, при анализе подхода Г.Крона нас будут особенно интересовать два вопроса:

1. Реализована ли в подходе "модель проецирования" ? Р.И.Березуев в своих текстах отвечает на этот вопрос утвердительно; мы в данном тексте займем противоположную позицию, полагая, что Г.Крон реализует метод Ф.Клейна.
2. Переносится ли метод Г.Крона на анализ любых сетей и структурных объектов? П.Г.Кузнецов и А. Е. Арменский считают, что это так; мы же полагаем, что существенным для метода является описание сетей линейными функциями.

Во второй части планируется рассмотреть главным образом идеи содержательно-генетической логики (эпистемологии) Г.П.Щедровицкого.

 

1. Модель "проецирования"

"Проекционная" модель знания легко может быть понята из схем рис.1.

Рис.1. "Модель проецирования". а) - схема из статей Г.П.Щедровицкого, б) - схема из текстов Березуева, посвященных анализу метода Г.Крона

Согласно этой модели знание рассматривается как результат "взятия" объекта с "определенной стороны", в форме определенной его проекции.

Такое понимание знания не представляется чем-то из ряда вон выходящим: в нашем речевом обиходе постоянно встречаются такие выражения, как "рассмотреть вопрос со всех сторон", "взглянуть на предмет с другой стороны" и т.п. Вместе с тем модель определяет весьма нетривиальную систему элементов и отношений между ними, порождающую круг вопросов и открывающую горизонт возможностей, новых по сравнению с традиционной логикой.

• Для формальной логики главной характеристикой знания является его "истинность" или "ложность", в "проекционной модели" эти характеристики в чистом виде отсутствуют.
• Аксиома формальной логики А=А, и, следовательно, все выводимые из нее знания, основаны на самотождестве познающего субъекта (это показано в работах Аристотеля и Фихте). В модели "проекций" явно вводится изменение познающего субъекта - в слабой форме это изменение состоит в смене точек зрения, в сильной форме - в введении разных наблюдателей.
• Аксиома формальной логики исключенного третьего А =/= не-А оказывается нарушенной в "позиционной модели": "прямоугольник" = "круг" (рис.1.б). Более того, есть основания полагать, что "проекционная модель" эффективно используется именно тогда, когда требуется средство для разрешения проблемных ситуаций, парадоксов и противоречий.
• Со времен "Аналитики" Аристотеля в формальной логике "субъект", "наблюдатель" не является элементом структуры знания. Субъективность учитывается как "мнение" относящееся, как правило, не к сфере наук и логики, а к области коммуникации, споров; ей была посвящена совсем другая аристотелевская работа - "Топика". В "проекционной" модели "ракурс рассмотрения", "система координат", "наблюдатель" (или "позиция") явно включены в логическую структуру знания.
• В формальной логике знание противостоит объекту, существующему независимо от него, и "отражает" этот объект. Отражение может быть "полным" или "неполным", "точным" или "неточным", "истинным" или "ложным", но оно всегда - как бы метафизическое удвоение в мысли самого объекта, как он есть на самом деле. Модель "проецирования" позволяет проводить трансцендентальные рассуждения, согласно которым объект нам дан только относительно, в своих проекциях, с точки зрения "субъективного наблюдателя", а не "абсолютно", с точки зрения "объективного наблюдателя" (Терминология Р.И.Березуева).
• В истории философии и логики методы работы, основанные на использовании противоречий, традиционно относятся к области диалектики. Но относительно диалектики всегда открытым оставался вопрос о ее формализации. "Философский", "гуманитарный", то есть как бы "нестрогий" характер диалектического рассуждения определяется системой используемых мыслительных средств - понятий и категорий. "Проекционная модель" (особенно в форме б) рис 1.), напротив, представляется как "строгая" и формальная, в ней базовыми средствами являются идеализированные объекты математики.

Приведенных характеристик достаточно для того, чтобы показать уникальный характер "проекционной модели" и обосновать значимость ее рассмотрения.

 

2. Подход Ф.Клейна

Мы будем основываться на материале лекций Ф.Клейна "Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия" [6]. Нас будут интересовать как геометрические объекты, так и способ рассуждений немецкого математика. На первый взгляд представляется, что именно в геометрии "модель проецирования" выступит в наиболее простом и "чистом" виде: ведь сами процедуры проецирования и построения различных образов в разных системах координат являются предметом именно геометрии. Но анализ текста Ф.Клейна приводит к неожиданному результату: выясняется, что в геометрии "модель проецирования" либо отсутствует вовсе, либо применяется в особом виде.

Принцип относительности в геометрии

Геометрические фигуры получают свое аналитическое представление в виде величин и формул за счет введения систем координат.

Рассмотрим в двумерном пространстве R2 некий квадрат. Его вершины проецируются на оси прямоугольной системы координат СК (рис.2.а)), и такие величины, как длины сторон и площадь, могут быть определены по значению этих координат.

Например, площадь формально вычисляется как определитель, построенный из координат трех вершин (x2, y1), (x2, y2), (x1, y2):

При численных значениях координат, показанных на рис.2 а) площадь равна единице.

Подчеркнем, что расчет площади с помощью определителя будет давать одинаковый результат независимо от того, как квадрат сдвинут или повернут относительно СК. Этот факт выражают, говоря, что определитель (1) является инвариантной величиной относительно преобразований параллельного переноса и поворота.

Рис.2. Элементарный пример из аналитической геометрии: а)описание квадрата в декартовой системе координат СК; б) преобразование геометрического объекта: квадрат R прямоугольник; в) преобразование системы координат: СК R СК`.

Рассмотрим простейшее преобразование квадрата - его сжатие и сдвиг вдоль оси ОХ. Это преобразование описывается подстановкой y`=y, x`=1/2x. При подстановке новых значений для координат вершин, квадрат меняется как геометрический объект. Изменяется и величина его площади- непосредственно видно, что она становится равной 1/2, этот же результат получается и с помощью формализма определителей.

Возможна другая интерпретация той же самой подстановки: будем считать, что сам объект не изменился, но изменилась система координат. Единица на оси ОХ` растянулась вдвое по сравнению с единицей на оси ОХ. Хотя сам объект остался тем же самым, но "с точки зрения" CK` он выглядит иначе: длина основания его равна 1/2, площадь равна 1/2. Таким образом, с "точки зрения" величин и аналитических выражений случаи а) и б) ничем не отличаются друг от друга.

Ф.Клейн, рассматривает подстановки х`=(х`1, :,х`n)=B*х=B*(х`1, :,х`n), где х и х`- координаты в пространстве n измерений, а B - оператор преобразования. При этом он все время дает им двоякую интерпретацию. Случай, когда считается, что объект не меняется, а меняется система координат, Ф.Клейн называет "пассивным", случай, когда преобразуется объект - "активным". Активное и пассивное представления дуальны по отношению друг ко дугу.

Г.Вейль, характеризуя творчество Ф.Клейна, сказал: "Смысл геометрии в понимании Клейна - это ничто иное, как теория относительности в ее общем математически формализованном варианте" (Г.Вейль. Феликс Клейн и его место в математической современности. В кн. "Математическое мышление", [4].).

Разобранный нами элементарный пример демонстрирует принцип "геометрической относительности". Но в чем суть этого принципа? Что именно означает примененное нами странное выражение "с точки зрения системы координат СК`"? Перед нашими глазами на рис.2. полностью известная конструкция: определен объект, определены системы координат, известно правило преобразования. Но мы в какой-то момент отвлекаемся от всего, что нам известно, и предполагаем, что про объект мы не знаем ничего, кроме аналитических выражений координат и величин. Мы видим, что для случаев б) и в) записи координат и величины площади совпадают: х1=1/2, х2=1, S=1/2. Этим обуславливается наше видение объекта как прямоугольника с основанием в половину высоты и с половинной площадью. Странно только то, что в случае б) объект явно не таков, как видится!

Геометрическая относительность и модель знания содержательно-генетической логики

Конечно, для человека с хорошей физ.-мат. подготовкой подобный релятивизм может не показаться чем-то стоящим внимания - он привычен. Но подчас в самых простых вещах, если суметь им удивиться, открывается глубокое содержание.

В аналитической геометрии объекты характеризуются числами, а всякое число - есть результат измерения, то есть соотнесения с мерой (О понятие числа как отношения измеряемого к мере писал А.Лебег в своей книге "Об измерении величин". Именно такое понятие было положено академиком В.В.Давыдовым в качестве содержания обучения в первом классе школ РО ("Развивающего Обучения").) . Измерения одного и того же объекта дают разные числа, если используются разные меры. Но почему внешнее к объекту изменение меры оказывается дуальным изменению самого объекта?

Для ответа на этот вопрос привлечем модель знания из содержательно-генетической логики (Г.П.Щедровицкий, [9]). Схема знания в одном из своих видов изображена на рис. 3.а). На ней показаны два уровня или две плоскости знания - объективного содержания и знаковой формы. В схеме выделены две половины - левая и правая, связанные пунктирной стрелкой. В левой части на уровне объективного содержания объект Х за счет процедуры d сопоставляется с эталонным объектом Оэ. Результат сопоставления выражается в знаковой форме (А). Связанные полустрелкой, направленной вверх, два уровня изображают т.н. действие сопоставления. Правая половина схемы описывает обратное действие отнесение. В нем исходно берется знаковая форма (А), и она интерпретируется, относится к объекту Х. Схема подчеркивает несимметричность двух действий. Действительно, при сопоставлении в знаке (А) находит свое выражение способ воздействия на объект: использование эталона, реализация процедуры измерения, отклик объекта, в котором он проявляет свои свойства. А при действии отнесения содержанием оказывается отдельный "неподвижный" объект, как простая вещь.

Рис.3. Схема знания содержательно-генетической логики: а) сопоставление объекта Х с эталоном Оэ и отнесение знания к объекту; б) сопоставление фигуры с СК` и отнесение величин к геометрическому объекту.

На рис.3.б) показаны действия сопоставления и отнесения в случае аналитического описания геометрического объекта. На схеме видно, что действия сопоставления и отнесения различаются мыслительными контекстами. При сопоставлении квадрат считается определенным, неизменным объектом, а СК` рассматривается как новый эталон. При отнесении то, как было получено знание, перестает учитываться. Значения координат прямо интерпретируются в план объекта. Таким образом, мы видим прямоугольник (Несимметричность действий сопоставления и отнесения, существенная в данном случае, может быть также явно выражена, если структуру знания представить в форме Е-5 вектора. Действие сопоставления будет описываться как //Квадрат/ СК`/ d/ 0/ х`1, х`2, у`1, у`2 //, действие отнесения - как // х`1, х`2, у`1, у`2/ 0// 0/Прямоугольник //). Результат действия отнесения и результат трансформации квадрата совпадают. Преобразование объекта и преобразование мерки оказываются дуальными.

Итак, мы рассмотрели приведенный на рис.2. элементарный пример, иллюстрирующий "геометрический релятивизм" Ф.Клейна. Наш анализ показал, что по своему знаниевому устройству этот пример является сложной конструкцией, порождающей целый спектр мыслительных действий и соответствующих им типов интерпретаций. Выделив эти типы, мы рассчитываем получить набор инструментов, который пригодится нам дальнейшего анализа методов Ф.Клейна и Г.Крона.

Типы интерпретаций, порождаемые геометрической относительностью

В мыслительной конструкции мы выделим два основных уровня - геометрических объектов и величин, формул. В качестве вспомогательного вводится уровень систем координат. Конструкция в целом представляет собой связь между величинами, формулами и геометрическими объектами, опосредованную системой координат. Мощь аналитической геометрии основана на том, что определенным видам формул однозначно соответствуют определенные виды геометрических объектов. Например, формулам вида Ах+Ву+С=0 соответствуют прямые, х2+у2=R² - окружности, и т.д.

Рис.4. Типы мысленных интерпретаций, возникающих в конструкции геометрической относительности.

На схеме рис.4. показаны два полярных типа интерпретаций аналитической геометрии. Первый тип был рассмотрен нами выше на примере рис.2. Он характеризуется тем, что геометрическая фигура - квадрат, - рассматривается как исходно данная, независящая от описаний в системах координат. Можно сказать, что квадрату придан статус первичной реальности. Случай преобразования квадрата при неизменной системе координат изображен на схеме I.1. На схеме подчеркивается, что преобразование объекта осуществляется за счет подстановки в аналитическую форму. Схема I.2. описывает дуальный случай преобразования системы координат. На схеме I.2. показано, как при переходе от действия сопоставления к действию отнесения меняется статус реальности: первично данными оказываются величины, а объект вторично строится по ним.

От типа I.2. уже легко перейти к типу II, в котором первичной реальностью наделены аналитические формы знаний об объекте, а не сами объекты. Схема типа II.1. описывает преобразование аналитических выражений, которые относятся к разным состояниям объекта. А тип II.2. - преобразование систем координат, которое приводит к изменению аналитических форм. Объекты восстанавливаются по формулам прямым отнесением.

От типа II.2. уже пол шага до радикально релятивистской точки зрения.

Еще раз обратимся к исходному примеру рис.2. Рассуждение может быть таково. В CK` мы видим прямоугольник, но ведь и квадрат мы видим сквозь призму СК! СК и CK` равноправны, поэтому нельзя утверждать, чем именно является объект на самом деле - прямоугольником или квадратом. Его конкретная геометрическая форма - только образы, изображения в разных системах координат!

Эту интерпретацию мы должны вынести в отдельный, третий тип на том основании, что в нем, хотя аналитические формулы или объекты берутся как данные первично, им не присваивается статуса реальности. Реальность относится в область трансцендентного объекта.

Рис.5. Тип III - радикальный геометрический релятивизм

Важно отметить, что в рамках данного типа преобразования систем координат, аналитических формул и объектов рассматриваются как равноправные.

Теперь следует обратиться к материалу работ Ф.Клейна и рассмотреть, какие знаниевые конструкции им употреблялись, и какими типами интерпретации он пользовался.

Инварианты преобразований и способ решения задач

Приняв равноправие "пассивной" и "активной" интерпретации подстановок, Ф.Клейн рассматривает различные типы преобразований. Например, проективное преобразование задается формулами подстановки (для R²):

x`=(a1x+b1y+d1)/(a3x+b3y+d3), y`=(a2x+b2y+d2)/(a3x+b3y+d3)     (2).

Проективное преобразование существенным образом трансформирует пространство: приводит к изменению расстояний, углов, бесконечно удаленные точки делает лежащими на конечном расстоянии от начала координат, и наоборот, близкие точки удаляет на бесконечность... Вместе с тем можно обнаружить такие свойства геометрических объектов, которые остаются неизменными при проективном преобразовании. Например, каждая прямая сохраняет свой вид - переходит в прямую же.

Тонкость заключается в том, что вид объекта определяется по виду формулы, описывающей объект через его координаты. Поэтому инвариантность объекта доказывается тем, что вид формулы остается неизменным при замене переменных (2).

На исходном элементарном примере мы видели, что инвариантные формулы и величины устанавливаются через особые математические объекты - матрицы и определители (см.(1)), также и тензоры.

Рассмотрим для примера некий какой-нибудь инвариант. В группе проективных преобразований существуют инварианты для произвольной системы из 5-ти точек [5]. Пусть формула, описывающая систему из точек М1,:,М5, имеет вид F(M1,M2,M3,M4,M5)=0     (3).

Инвариантность относительно преобразований (2) означает, что в новом геометрическом объекте будет сохранено отношение между точками, описанное формулой, и сам вид формулы (3).

Рис.6. Инвариантность системы отношений в геометрическом объекте и вида формулы, аналитически описывающей эту систему.

Инварианты преобразований выражают глубинные свойства геометрических объектов (и аналитических функций, их описывающих), которые не зависят от систем координат и от определенных трансформаций объектов и/или систем координат. Клейн специально подчеркивает, что в выборе систем координат присутствует произвол. Выделение инвариантов обеспечивает очищение знания от этой произвольности и придает ему объективный характер, т.е. статус знания о свойствах самих геометрических объектов как таковых.

Знание инвариантов является эффективным средством доказательства теорем и решения задач. Ф.Клейн приводит следующий пример. Дан произвольный эллипсоид с главными осями a,b,c и описанный вокруг него косоугольный параллелепипед. Требуется найти объем параллелепипеда. Решение состоит в том, что эллипсоид и параллелепипед рассматриваются как результат аффинного преобразования сферы радиуса R, вписанной в куб. Объем куба равен V=8R³. При аффинном преобразовании каждый объем умножается на определитель D подстановки, так что объем параллелепипеда равен V`=DV=D8R<sup>3</sup>. Объем не зависит от того, как расположен параллелепипед, поэтому можно рассмотреть его стороны как параллельные тройке главных осей элипсоида, образующих друг с другом прямые углы. Если длины осей 2a,2b,2c, то получаем V`=8abc.

Рис. 7.

Рассмотренный на простом примере способ решения задачи носит общий характер. Именно: сложная задача решается за счет сведения к простой, при этом сведение обеспечивается путем преобразования систем координат.

Рис.8. Способ сведения сложной задачи к простой за счет перехода в новую систему координат

Метод Ф.Клейна

Клейн последовательно от общего к частному выводит группы линейных преобразований. Группой он называет совокупность преобразований, в которой суперпозиция этих преобразований снова дает преобразование, принадлежащее данной совокупности, и, кроме того, для каждого из преобразований существует обратное, также принадлежащее той же совокупности. Каждой группе преобразований соответствует свой тип геометрии: метрическая геометрия, аффинная геометрия, проективная геометрия, геометрия обратных радиусов, топология. Каждая геометрия характеризуется своим набором инвариантов.

"Геометрия занимается (...) только такими соотношениями между координатами, которые остаются неизменными при (...) линейных подстановках - будем ли мы рассматривать последние как изменение системы координат или как преобразования пространства; геометрия является, таким образом, теорией инвариантов упомянутых линейных подстановок" (Выделение курсивом - Ф.Клейна).

Основная задача геометрических исследований, таким образом, заключается в нахождении всех возможных инвариантов для данной группы и, соответственно, данного типа геометрии.

Подстановки (преобразования систем координат или геометрических объектов) являются как бы экспериментальной процедурой воздействия на "геометрическую материю". Подвергая эту "материю" различным трансформациям, Ф.Клейн выделяет все более глубокие закономерности - инварианты. Он пишет: "Последовательное выделение аффинной и проективной геометрии из метрической можно сравнить с работой химика, который, применяя все более сильные средства разложения, выделяет из данного вещества все более ценные составные части; нашими средствами являются сначала аффинные, а затем проективные преобразования."

Какой тип интерпретации, из введенных нами трех типов, реализуется Ф.Клейном? Все изложенное выше свидетельствует о том, что третий тип Клейну не нужен. Он использует комбинацию первого и второго типов в функции способа "химического разложения". С этой точки зрения метод Ф.Клейна может быть описан как новый тип, промежуточный между I и II с одной стороны, и III - с другой.

Рис.9. Метод Ф.Клейна как особый тип знаниевой конструкции и интерпретации

На схеме рис.9. метод Ф.Клейна изображен как своеобразная "машина", на вход которой подается первичное геометрическое знание, а на выходе получаются знания об инвариантах групп. При этом уровни объективного содержания и знаковых форм как бы расщепляются. Инвариантное свойство геометрических объектов выступает как более глубокий слой объективного содержания, а инвариантные формы аналитических выражений - как законы более высокого уровня абстракции.

Модель проецирования и метод Ф.Клейна

Сопоставим наши представления о методе Ф.Клейна с "моделью проецирования". По-видимому "модели проецирования" соответствует схема радикального релятивизма рис.5., но Ф.Клейн не использует подобных интерпретаций. Почему, опираясь на переходы между разными системами координат, Ф.Клейн не трактует описания в них как разные образы единого объекта?

Наше объяснение состоит в том, что геометрические объекты, получаемые за счет подстановок, в действительности и не являются проекциями в том смысле, как это показано на схеме рис. 1.а) и б). Дело в том, что геометрические объекты всегда представляют собой "белые ящики", или, иначе, недоопределенные, но известные объекты. Рис.6. и 7. показывают, что они "прозрачны": в каждой системе координат они даны всегда целиком. Если какая то система отношений в объекте или формула соотношений величин описывается в СК, то она же, без изъятий, описывается и в СК`.

В схеме проецирования рис.1. моделируется совсем другая ситуация. В каждой из проекций определенные стороны объекта открыты, а определенные - скрыты, не даны и в рамках частной проекции не могут быть обнаружены. Каждая новая проекция что-то в объекте закрывает.

Рис. 10. Разница между работой с геометрическими объектами по методу Клейна а), и работой с разными проекциями единого объекта б).

В своей статье "О математически неразрешимых задачах" [3] Р.И.Березуев очень точно подчеркивает разницу между математическими методами описания геометрических объектов в разных системах координат и проецированием неизвестного объекта. Р.И.Березуев вводит позиции "объективного наблюдателя" (ОН) и "субъективных наблюдателей" (СН). Он утверждает, что математическими средствами на основе знаний, доступных СН невозможно получить знание ОН. Характеризуя метод Г.Крона, Р.И.Березуев полагает, что в нем рассуждения ведутся с позиции ОН, и в полной мере понять Крона можно только при учете скрытых от МН, но доступных ОН параметров.

Мы также полагаем, что "модель проецирования" в полной мере реализуется только тогда, когда в отношении к двум различным знаниям полагается (вообще говоря, a`priori) некоторый объект. Первичное полагание задает просто функциональное место объекта. Можно считать, что это место задается "метафизически".

Сам Ф.Клейн не придавал своим построеням "метафизических" интерпретаций. Но такие интерпретации для его метода вводил Г.Вейль.

Метафизика геометрического релятивизма

Особенность подхода Г.Вейля в том, что он ввел понятие "конгруэнтности". Фигуры считаются конгруэнтными, если одна может быть получена из другой в результате определенного движения; простейшими видами движения являются параллельный перенос и вращение. В более общем случае движением оказывается любая группа преобразований. А мы знаем, что дуальным для движения фигуры является преобразование системы координат.

Отношение "конгруэнтности" есть отношение эквивалентности геометрических объектов, и всякая группа преобразований устанавливает определенный класс эквивалентности объектов.

Теперь предположим, что мы используем интерпретацию типа II. Пусть даны два двумерных пространства R² и R`<sup>2</sup>, а в них - две разные системы координат СК и CK`, заданные базисами e=(e1,e2), e`=(e`1, e`2). Рассмотрим некоторую точку А. В системе СК она описывается координатами (х1, х2), в системе CK` - координатами (х`1, x`2). Допустим, эти координатные пары таковы: (1,4) и (0.8,3). По условиям интерпретации типа II исходно мы ничего, кроме этих числовых пар не знаем. Как определить, они описывают одну и ту же точку в двух разных системах координат, или две разные точки в рамках одной системы?

Не имея никаких дополнительных условий, мы не можем ответить на этот вопрос. Мы должны a`priori положить одну из альтернатив:

1. один объект, в разной форме представленный в разных системах координат;
2. один объект, но осуществивший "движение" в рамках единой системы координат;
3. разные объекты.

Подчеркнем, что выбор альтернативного варианта не зависит от того, заданы ли нам правила преобразования СК в СК`, или нет. Ведь если известно, что координатные пары х и х` описывают разные точки А1 и А2, мы, даже подобрав такую CK`, для которой х`=В*х, не сделаем эти точки равными.

Принцип геометрической относительности утверждает формальное равенство альтернатив 1) и 2). Но, если равенство (эквивалентность) геометрических объектов определяется их движением, мы теряем основание выбора между альтернативами 2) и 3)! По одним только значениям координат мы не можем различить нумерическое тождество и эквивалентность геометрических объектов. Имея два разных описания х и х`, мы можем считать, что в двух разных системах СК в CK` описан один и тот же объект (нумерическое тождество). А можем считать, что это два различных, но равных (эквивалентных) объекта, переведенных друг в друга особым движением (преобразованием).

Получается, что бесконечное множество эквивалентных, но разных объектов это то же самое, что множество представлений в различных системах координат одного объекта. Логически связать эту множественность представлений с единственностью объекта удается, только если считать представление изображением, проекцией, а сам объект - том, что изображается. Следовательно, появляется основание для перехода к типу III "радикального геометрического релятивизма" и использования "модели проецирования".

Отнесение двух разных объектов в один класс является результатом процедуры абстрагирования и обобщения, а общее объектов называется родом. Выделенное же в разных знаниях об одном объекте единое начало традиционно называется идеей, или эйдосом. Этому выделению соответствуют процедуры идеализации. Таким образом, в подходе, выработанном Г.Вейлем, равноправное применение понятия конгруэнтности и "модели проецирования" устанавливает для геометрических объектов эквивалентность абстрагирования и идеализации.

 

3. Промежуточный итог: два вида "модели проецирования"

Резюмируя, мы можем сказать, что наш анализ выявил два разных случая, подпадающих под форму "модели проецирования".

Один вариант совпадает с типом III радикального геометрического релятивизма и изображен на схеме рис.5. Его суть заключается в том, что бесконечный класс эквивалентных объектов интерпретируется как множество изображений единого трансцендентного объекта. При этом каждое из изображений представляет объект целиком, во всей его структуре, но в разном виде. От одного вида к другому можно переходить формальным геометрическим преобразованием.

Второй вариант изображен на схеме рис.10 б). Его суть заключается в том, что единый объект в своих проекциях дан только частично. Для каждой из проекций существуют закрытые, невидимые стороны объекта.

При дальнейшем анализе мы должны будем все время определять, с каким из этих двух вариантов имеем дело. Чтобы изобразить эти два разных вида, несколько изменим рис. 10.: на схеме 10. а) отразим интерпретацию геометрических фигур как образов единого объекта.

Рис.11. Два вида "модели проецирования": а) объект дан целиком в каждой системе координат, б) объект частично дан в каждой из проекций.

Оба указанных вида модели имеют общую логическую форму, показанную на рис.12.

Рис.12. Полная логическая структура "модели проецирования"

Все указанные на схеме условия, кроме формальных правил преобразования проекций друг в друга (!), являются обязательными при применении "модели проецирования". Необходимым условием осуществления модели является полагание единого объекта, противостоящего различным его изображениям. Формальные преобразования между проекциями вторичны по отношению ко взаимосвязи проекций через объект.

 

4. Релятивизм в физике

Теории относительности в физике - один из самых интересных образцов использования "модели проецирования". Вводятся позиции разных "наблюдателей", для которых все явления выглядят особым образом, соответственно движению связанных с ними систем координат (систем отсчета). В этом суть коперниковского переворота. Галилей ввел в механику свой принцип относительности, обосновывая идеи Коперника.

Рассмотрим решение задачи об абсолютно упругом столкновении двух шаров. Известно, что эту задачу безуспешно пробовали решить Г.Галилей и Р.Декарт, и справился с ней только Х.Гюйгенс. Задача была им решена за счет применения принципа относительности.

Гюйгенс рассматривал случай центрального столкновения двух шара одинаковой массы M. При этом первый шар налетал со скоростью v, а второй покоился.

Приписав заданную условием задачи картину столкновения шаров видению "наблюдателя 1", принадлежащего СК, Гюйгенс ввел позицию "наблюдателя 2". "Наблюдатель 2" связан с СК`, движущейся относительно СК со скоростью v/2 в направлении, противоположном движению шара. Для второго наблюдателя картина столкновения выглядит таким образом, что шары летят друг навстречу другу с равными по величине скоростями v/2. И из соображений симметрии ясно, что после удара шары станут разлетаться в противоположные стороны со скоростями v/2.

"Наблюдатель 2" видит разлетающиеся шары, а для "наблюдателя 1" картина после столкновения выглядит иначе. Проделав переход от СК` в СК мы получим, что шары обменялись скоростями: первый шар остановился, а второй полетел со скоростью v.

Рис.13. Схема решения Гюйгенса.

На схеме оператор перехода от СК к СК` обозначен как С.

Если мы припишем движению шаров вектор, компонентами которого будут скорости тел, для СК мы получим v=(v,0), для СК` v`=(v/2,-v/2). Тогда переход от СК к СК` может быть задан в виде подстановки v`= C*v:

Видно, что способ решения задачи, изображенный на схеме рис.13, практически тот же, что и на схеме рис. 8. Используя переход в другую систему координат, Гюйгенс свел сложную задачу к простой, нерешенную - к решенной.

Точно также, как и в случае геометрической относительности, исходно не возникает вопрос об объекте, который по разному отражается в разных системах координат. Поэтому на схеме рис.13. пунктиром помечено место этого объекта - как возможное.

Если попытаться реализовать логическую структуру "модели проецирования" в ее полноте (рис.12.), на вопрос об объекте приходится отвечать. Принцип относительности Галилея (и Эйнштейна) утверждает равноправие точек зрения обоих наблюдателей. И отрицает возможность абсолютного наблюдателя, которому объект дан сам по себе. Значит, в физике принят тип III (рис. 5) интерпретации системы знаний рис. 13.

Вместе с тем, от типа III осуществляют переход к типу I=II, пользуясь методом, аналогичным методу Ф.Клейна. Именно, место объекта заполняется тем, что в релятивистской физике имеет название событие. В нашем случае - событие столкновения. Это значит, что "объект" как бы расслаивается на несколько подсистем, одни из которых задают сущность объекта и инвариантны для любых точек зрения, а другие принадлежат области явлений и принимают разную форму в разных системах координат. К инвариантной сущности относится само наличие физических тел, их количество, тип взаимодействия между ними. К области явлений относятся значения измеряемых физических величин пространства, времени и т.д., описывающих объект.

Определив сущность, можно построить специальное изображение объекта как такового. В частной и общей теориях относительности событие изображается пересечением "мировых линий" - траекторий физических тел в пространстве-времени.

Если воспользоваться принятым в релятивистской физике геометрическим схематизмом для описания задачи с шарами Гюйгенса, получится чертеж, изображенный на рис.

Рис. 14. "Мировые линии" сталкивающихся шаров при использовании преобразований Галилея.

На схеме изображены две системы координат (x,t) и (x`,t`). Оси x и x` совпадают, а ось t` проведена под углом, тангенс которого равен v/2. Иными словами, наклонная ось t` описывает движение начала координат системы (x`,t`) в системе (x,t).

В системе (x,t) событие столкновения показано точкой пресечения двух прямых: наклонной, изображающей движение шара со скоростью v, и вертикальной, изображающей мировую линию покоящегося тела. Синий цвет соответствует первому шару, красный - второму. На графике видно, что шары обменялись скоростями в результате удара. В системе координат (x`,t`) точки тех же самых линий проецируются параллельно осям x` и t`. Координаты столкновения в первой системе отсчета (х0,t0), во второй - (х`0,t`0), при этом численно t0=t`0. Позицию второго наблюдателя легко проимитировать, глядя на график, слегка наклонив голову вправо, так, что линия х`0О, параллельная оси t`0, представляется осью симметрии двух одинаково наклоненных прямых - графиков движений со скоростями v/2 и -v/2.

График рис.14 конфигурирует в едином изображении представление инвариантного объекта (события), и две разные точки зрения на него. Можно сказать, что инвариантным объектом оказывается геометрический инвариант - соотношение геометрических объектов, точка пересечения прямых. Инвариантными величинами являются расстояние между шарами в каждый момент времени и скорость сближения шаров, а также уравнение пересечения прямых в тензором виде.

На основании проделанного рассмотрения сделаем выводы о "модели проецирования", используемой в релятивистской физике.

Прежде всего, нужно отметить, что используется "модель проецирования" первого вида (рис.11.а)). Действительно, в каждой из систем координат физическое явление описывается целиком, без скрытых сторон. Особенным является то, что в логической структуре "модели проецирования" функциональное место оказывается заполненным. И заполняется оно геометрическим инвариантом. График рис.14. представляет конкретный пример этого особого вида "модели проецирования".

Рассматривая ниже подход П.Г.Кузнецова, мы увидим, что он использует схему проецирования именно в таком виде.

 

5. Подход Г.Крона

Общая характеристика подхода

Работы Г.Крона, сразу после их появления в 30-х годах прошлого века, вызвали неоднозначное отношение, споры, при этом они и по сей день являются источником многочисленных идей в самых различных областях науки и техники. Очень велик философско-методологический потенциал трудов Крона. Они вобрали в себя результаты "прорывных" для 20-ого века разработок в математике - римановы геометрии, Эрлангенская программа Ф.Клейна, работы Г.Вейля, в физике - работы по частной и общей теории относительности, в инженерии - достижения в проектировании больших систем и машин. Все это Г.Крон стремился претворить в общий и универсальный метод. Этим богатством и разнотипностью содержания объясняется трудность понимания Г.Крона. Это же обеспечивает и привлекательность кроновских работ для разработчиков различных предметных областей. Каждого из них первоначально может интересовать преимущественно какая-то одна сторона - электротехника, сетевые объекты вообще, тензорный аппарат как средство инвариантного описания объектов, универсальность метода, богатые гносеологические и философские аналогии. Но по мере углубления в труды Крона, все эти стороны начинают открываться как взаимообусловленные, как представляющие единое целое.

В рамках данной статьи нас в особенности будут интересовать два вопроса:

• Какого вида "модель проецирования" используется в подходе Г.Крона ?
• Переносится ли метод Г.Крона на анализ любых сетей и структурных объектов?

Габриэиль Крон устанавливает отношение эквивалентности между всевозможными электротехническими системами, что дает ему основание рассматривать их как проекции в многомерных (неэвклидовых) пространствах единого "геометрического объекта". В грубом виде метод Крона выглядит так. Чтобы решить задачу расчета электрической сети, нужно из системы координат (СК) сложной сети перейти в другую систему координат (СК`), где сеть предстает как примитивная, провести расчет, а затем осуществить обратный переход. Видно, что этот метод, по сути, воспроизводит релятивистский подход в физике, в частности, способ, примененный Гюйгенсом для решения задачи о соударении шаров.

Рис.15. Общая схема метода Г.Крона.

Конкретный пример

Анализ подхода Г. Крона начнем с самого первого и простого примера, приведенного в книге "Тензорный анализ сетей".

В качестве "геометрического объекта" Крон рассматривает систему из двух катушек (комплексных импедансов Z) и двух источников ЭДС. Первая "проекция" объекта - примитивная сеть из несвязанных между собой контуров, в которых катушки замкнуты на себя (рис. 7., а)). Вторая проекция - сеть, полученная из первой замыканием контуров, как это показано на рис.7. б).

Рис.16. Примитивная а) и "сложная" б) контурные сети

И в первой и во второй сети "материальные элементы" - импедансы и источники ЭДС остались теми же самыми. По правилам Кирхгофа, поскольку во второй сети катушки по-прежнему короткозамкнуты на себя, токи, протекающие через катушки, также не изменились: ia=ia`, ib=ib`. С этой точки зрения, задача расчета сети б) по сети а) является тривиальной, или вообще не встает.

Но особенность примера Крона в том, что для описания сетей он использует векторные и матричные величины. Т.н. "постулат первого обобщения" Крона утверждает, что форма записи уравнений для множественных объектов (сетей, состоящих из многих импедансов) и одного объекта (контура или ветви с одним импедансом) одна и та же, если для первых использовать язык матриц. А компоненты векторов и матриц определяются не только "физически измеримыми" величинами, но и базисами линейных пространств. Поэтому для второй сети знаки штрихов у всех величин уместны: в своем примере Крон выберет такой базис описания сети б), что в нем и матрица импеданса изменится!

Рассмотрим это подробнее.

В качества базиса берутся токи: i= (ia, ib) для сети в) и i`= (ia`, ib`) для сети б).

Обратим внимание на то, что ток ib` это не ток, протекающий через импеданс системы б)! Если бы мы взяли в качестве компоненты базиса ток, протекающий через вторую катушку, наши прежняя и новая системы координат вовсе бы не различались! Но Крону на этом простом примере надо продемонстрировать как раз переход в новую систему координат, поэтому он выбирает самое простое преобразование базиса.

По правилу Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, откуда следует, что

ia = ia`

ib = ix`= -ia` + ib`

Откуда тензор преобразования базисов одной системы координат в другую, определяемый по формуле i=C*i`, имеет вид матрицы

Каждая из сетей описывается законом Ома в матричной форме e=Zi.

Для того, чтобы определить правила преобразования вектора е, Крон постулирует инвариантность величины мощности: P=e*i=inv.

Описание двух сетей рис.16. сведем в таблицу:

Опираясь на таблицу, построим геометрическое изображение описаний сетей в СК и СК`.

Рис.17.Изображение сети как "геометрического объекта" в двух разных системах координат.

На рис.17. показаны представления "геометрического объекта" в СК и СК`. Токи i и i` изображены векторами из начала координат в точки (1/2, 2/3) и (1/2, 7/6), соответственно. Если токи взяты как контрвариантные величины, то напряжения - как коваринатные, они представлены не как точки, а как прямые (на основании используя дуальности переменных и коэффициентов в аналитическом описании прямых). Эти прямые отсекают от осей координат отрезки, обратные величинам соответствующих компонент напряжения: 1/2, 1 для e=(2, 1) и -1, 1/2 для e`=(-1, 2).

И в СК и в СК` прямые напряжений, пересекаясь с векторами тока, делят их в отношении 6/5. Так, что расстояние от начала координат до точек пересечения в обоих случаях равно 6/11 - величине мощности.

Видна аналогия между изображением сети и события столкновения шаров как особых "геометрических объектов". Соотношения величин, выраженные связью (пересечением) прямых и саму эту систему отношений, так же, как в случае с соударением шаров, и как в случае геометрических инвариантов Ф.Клейна мы можем рассматривать как более глубокое объективное содержание, как идеальный объект.

Анализ примера: существенность линейных отношений

Мысль Крона все время движется как бы на трех разных уровнях: конструирования электрических цепочек, оперирования с величинами, тензорных преобразований. Изобразим это на многоуровневой схеме, схожей со схемами рис.4.

Рис.18. Многоуровневое представление предмета в методе Г.Крона.

Существенным свойством двух нижних уровней является то, что они задают систему линейных отношений.

Эквивалентные преобразования цепочек широко применяются в электротехнике. Например, два импеданса, соединенные последовательно, могут быть заменены одним импедансом, на уровне величин этому соответствует простое суммирование сумма сопротивлений. Крон использует и такой примем: мы получим эквивалентную цепочку, даже если в исходной сети закоротить любые два узла цепи, но при этом наложить условие, что величина тока, текущего по новой ветви, равна нулю. В этом случае появляется новая ветвь (или новый контур), появляется новая величина тока, и этой величиной можно оперировать в расчетах, но ее значение равно нулю (До Галилея в физике покой и движение противопоставлялись как два различных качества тела. Галилей стирает эту грань, присваивая покоящемуся телу скорость движения, равную нулю. Имеет ли покоящееся тело скорость? Да, но она равна нулю. Течет ли в оборванном контуре ток? Да, его величина равна нулю.). Обратим внимание, что любые, применяемые Кроном, конструктивные эквивалентные преобразования самих цепочек порождают класс линейных соотношений в плоскости величин (Падение напряжения в цепи E равно сумме падений напряжений на элементах: Е=Е1+Е2, импеданс последовательно соединенных элементов равен сумме импедансов Z=Z1+Z2, в случае параллельных соединений элементов то же правило выполнено для адмиттансов Y=1/Z: Y=Y1+Y2.).

Сами величины также находятся и исключительно в линейных соотношениях, что обусловлено законом Ома и правилами Кирхгофа.

Итак, в плоскости величин образуется класс линейных соотношений (уравнений), который соотносится с классом эквивалентных электрических цепочек в нижней плоскости. Очевидно, что для линейных соотношений может быть выделено множество n линейно независимых переменных, через которые выражаются все другие переменные (баизс), тем самым образуется линейное пространство Rⁿ.

Все линейные пространства Rⁿ изоморфны друг другу. Поэтому поведение (контурной) сети выражать в терминах любых n (контурных) токов, полученных как суперпозиция базисных. Но это означает, что и в терминах n токов примитивной сети, состоящей из отдельных контуров.

В нашем примере ток ib` линейно выражался через токи примитивной сети ia и ib . Иначе и быть не может!

Таким образом, величины и соотношения величин любой, сколь угодно сложной сети можно разложить на величины и соотношения величин примитивной сети.

Итак, метод Крона позволяет работать не с сетями вообще, не с сетями как с особым объектом, а только с такими сетями, которые описываются величинами, подчиняющимися законам линейных суперпозиций.

Это замечание представляется нам чрезвычайно важным, потому что оно снимает возможные мистификации метода Крона. Действительно, если рассматривать метод Крона как универсальный, и считать, что объектом являются сети, то можно предположить, что метод переносится, например, на семантические сети, сети баз данных, сети отраслевых цепочек на рынке и т.д. В книге А. Е. Арменского "Тензорные методы построения информационных систем" как раз описывается попытка такого переноса метода. Но в сетях баз данных хранится информация, например, текстового вида, и это наполнение сетей не имеет ничего общего с величинами и их линейными комбинациями. Логично предположить, что автор использует разработки Крона скорее как источник продуктивных идей, чем как прямой, переносимый метод. И действительно, внимательный анализ книги показывает, что при переходе от общих рассуждений к конкретике базы данных, автор вводит специальную функцию, которая задает булеву алгебру, и ничто другое. При этом т.н. "тензоры" сводятся к многомерным матрицам, а "проецирование" единого объекта фактически оказывается классификационной выборкой по параметрам.

Наоборот, если отчетливо понимать, что классы эквивалентности систем устанавливаются на основе того, что описывающие их величины линейно выражаются друг через друга, метод Крона оказывается очень логичным и ясным.

Анализ примера: что является "объектом"?

Можем ли мы на основе рассмотренного примера сказать, что в методе Крона является "объектом"? Выше мы предварительно посчитали таким объектом систему отношений в геометрическом объекте и соответствующую ей систему соотношений величин.

В разных местах книги Крона объектом называется разное: с одной стороны, это сами электрические сети, которые рассматриваются как различные формы одной идеальной сети, с другой стороны "геометрическими объектами" Крон называет векторные и матричные величины токов, напряжений и т.д.

Объект Крона как минимум двухплоскостной, включающий и системы отношений между величинами, и сами электрические цепочки. При этом тензорные преобразования применяются не к сетям, а к описывающим сети величинам и их соотношениям. Но результат - новые величины, - может быть соотнесен с определенными видами сетей.

Так, например, величины i`, e`, Z`, полученные в нашем примере, могут быть отнесены не к сети б), а к сети из двух отельных контуров со взаимной индуктивностью:

Рис.19. Прямая интерпретация уравнений в план цепочек

Это действие мысленного отнесения величин к сетям очень часто выпадает из поля зрения при понимании Крона. В результате может возникать впечатление, что тензорным преобразованиям подвергаются сами сети.

Крон пишет, что "все сети с n катушками являются эквивалентными друг другу". Прямая интерпретация этой фразы в план "катушек, клемм и батареек" приводит к легкому головокружению. Действительно, получается, что Крон выявляет какой-то невидимый особый мир, в котором существует единая Электротехническая Машина, а видимые нами катушки, провода и батарейки - проекции ее. Такое видение будоражит фантазию. Например, в своей очень интересной работе "Методология анализа сложных систем. (Тензорный метод Крона)" Р.И.Березуев пишет: "Изменения в параметрах ветвей цепи, при этом, переходят все рамки дозволенного. Не говоря уже о необходимости представления протекания токов во отсутствии проводников или наличии напряжения между точками при коротком замыкании, параметры абстрактной цепи и протекающие в них процессы вряд ли можно себе представить. Если вдуматься, то в абстрактном контуре нет токов и напряжений в обычном понимании. Токи и напряжения являются лишь проекциями - различными проявлениями некоторой абстрактной энергии, действующей в абстрактных контурах."

Обратившись к разобранному нами примеру, мы видим, что прямо интерпретировать величины, поученные формальным преобразованием, на физические объекты нельзя (неважно, назовем мы их "абстрактной сетью" или "конкретной сетью"). В цепи б) материально импедансы остались теми же самыми, но при прямой интерпретации из матрицы Z` можно "прочитать", что в сети стоят другие катушки, и между ними есть взаимное влияние. Это что значит, что "на самом деле" в сети б) появились "скрытые" катушки, где-то "в четвертом измерении"? Мы полагаем, что нет! Положение несколько проясняется, когда мы вглядываемся в величины e`. Численно напряжения остались теми же, но первая компонента сменила знак. Это и понятно: мы "смотрим" на напряжение "с точки зрения" совсем другого тока! Величина напряжения становится относительной, она определяется не сама по себе, а функционально, относительно базиса.

На схеме рис.20. показано, что тензорный аппарат и идеи "проецирования" единого объекта в различные системы координат применяются к верхним уровням. Величины токов, напряжения и т.д. описывают сети и относятся к определенным сетям. Но ни импедансы, ни источники ЭДС, ни провода не являются, конечно же, базисами или векторами, входящими в линейные комбинации друг с другом. Абсурдно было бы мыслить разложение медной катушки в линейную комбинацию из доли какого-либо кремниевого элемента и другой доли бронзового шунта.

Рис.20. Область применения тензорного аппарата в предмете Г.Крона.

Уместно привести такую аналогию. Известно, что колебания линейно разлагаются на гармоники. Простейший случай - колебательные движения вдоль двух перпендикулярных осей, совершаемые с различной частотой. Если частоты находятся в кратном отношении, то вектор, являющийся суммой колеблющихся векторов, будет описывать так называемые фигуры Лессажу.

Все фигуры, входящие во множество фигур Лессажу, можно считать "эквивалентными" друг другу на том основании, что в R² пространстве частот каждая из них описывается вектором, и эти векторы переводятся друг в друга линейными преобразованиями. Представим себе, что две фигуры Лессажу материализованы в виде металлических желобков по типу "американских горок". Если по этим желобкам пустить шарики, они будут совершать движения, разлагающиеся на ортогональные осциллирующие векторы. Таким образом, на приведенном выше основании, два желобка и катящиеся на них шарики можно также считать эквивалентными друг другу.

Можем ли мы из этого сделать вывод, что вылитые в металле две фигуры являются "проекциями" некой "абстрактной фигуры"? Или, что желобки с катящимися по ним шариками, являются проекцией некоторой "абстрактной американской горки"?

Очевидно, что положительный или отрицательный ответ на этот вопрос зависит от того, какой тип интерпретации мыслительных конструкций мы будем принимать. Он лежит не в области физики и математики, а в области философии и методологии, и вытекает из наших воззрений на знание, мышление и реальность.

Включение "знания" или "наблюдателя" в "объект"

Величины токов принадлежат "объекту", если мы понимаем его как "сплющенные" обе плоскости цепочек и величин. Действительно, токи характеризуют электромагнитное поле сети - то, чему физик приписывает реальность, как объекту. Но токи же берутся в качестве базиса систем координат. А системы координат, в соответствии с "моделью проецирования", относятся к "наблюдателю". Мы помним, что для Ф.Клейна выявление инвариантов обеспечивало устранение произвола, привносимого, как он писал, внешними для геометрических объектов, системами координат.

Но базисы пространства Крона (например, n контурных токов) не внешние исследуемому объекту. Они одновременно принадлежат и "объекту" и "субъекту" (наблюдателю).

Возникающая гносеологически сумасшедшая ситуация великолепно описана Р.И.Березуевым. В своей работе "Методология анализа сложных систем. (Тензорный метод Крона)" [2] он пишет следующее: "О пространстве Крона нельзя судить в терминах объектов и субъектов, пространства и времени. Например, вы, находясь в пространстве Крона, передвигая стул из одного угла комнаты в другой угол, заметили бы, что стул от вашего действия превратился бы в нечто совершенно иное, например, куст зеленой растительности. Причем комната от этого вашего действия так же перестала бы быть комнатой, а превратилась, скажем, в поляну в лесу."

Сопоставим рассмотренный пример Г.Крона с примером про соударение шаров. Мы тут же столкнемся со странностью. Действительно, ведь величины скоростей шаров тоже могут быть взяты в качестве базиса пространств, в которых описывается движение. Очевидно, что скорости можно рассматривать как принадлежащие "объекту" с тем же основанием, что и токи. Получается, что и про скорости можно сказать, что они одновременно принадлежат и субъекту и объекту! Почему в механике их так не рассматривают? Почему задача о столкновении шаров не приводит к гносеологическим парадоксам и, скажем, к особому "пространству Гюйгенса" с теми же странными свойствами, что и "пространство Крона"?

Может быть, причина в том, что место систем координат уже занято - движущимися системами отсчета (x, y, z, t)? Именно с этими величинами связана "схема проецирования", и поэтому ее уже нельзя "навесить" на другие параметрические пространства, скажем, скоростей.

"Модель проецирования" в методе Крона и устройство знания

Мы получили замечательный результат. Он состоит в том, что научные знания не существуют отдельно от особых метазнаний, которые регулируют, что именно считать знанием, а что - объектом. "Модель проецирования" относится к таким мета-знаниям.

В подходе Крона научно-инженерные методы расчета электрических сетей синтезированы с интерпретацией метода по "модели проецирования".

Рис.21. "Модель проецирования" в предмете Г.Крона.

Основанием применения "модели проецирования" выступил сам характер групповых преобразований и используемый тензорный аппарат. Г.Крон устанавливает класс эквивалентности сетей, а мы помним, что с этим связана "метафизическая" интерпретация по типу III, рис.5. , соответствующая первому виду "модели проецирования" рис.11. В этом состоит наша версия ответа о том, какой вариант "модели проецирования" использует Г.Крон.

"Модель проецирования" выступает как оператор мышления. Она задает функциональные роли "знаний" и "реального объекта". Первая роль приписывается соотношениям величин, описывающих сети, соответствующим электрическим схемам и материальным электротехническим системам. Оставшаяся "свободной" роль реальности приписывается некому "объекту", стоящему за величинами и сетями.

Таким образом формальный математический аппарат линейных (полилинейных, тензорных) преобразований величин выступает основанием метафизического полагания реальности.

В случае соударения шаров функциональные места "проекций" связываются с системами отсчета, а роль объекта может быть отведена событию соударения (пересечению двух "мировых линий" шаров). Поскольку "функциональные места схемы (ее "свободные радикалы") заняты, она уже не способна "прикрепляться" ни к чему другому, например, к векторному пространству скоростей. Поэтому онтологизации (наделения статусом реальности) чего-то, что стоит за скоростями, не происходит.

 

6. Подход П.Г.Кузнецова

Проблема синтеза знаний и подход к выработке универсального метода

"Проекционная модель" знания и связанный с ней аппарат Г.Крона используется в разработанном выдающимся советским ученым, философом Побиском Георгиевичем Кузнецовым подходе к научным исследованиям и организации комплексных полипредметных разработок. Будучи генеральным конструктором систем жизнеобеспечения космических станций, П.Г.Кузнецов руководил коллективом из сотен ученых и инженеров, представляющих различные науки. Основная проблема комплексной полипредметной разработки состоит в том, что каждый из специалистов говорит на своем профессиональном языке, системы знаний, которые они представляют, не стыкуются друг с другом.

Требование к методологическому подходу и новым логическим методам П.Г.Кузнецов сформулировал в своей работе "Искусственный интеллект и разум человеческой популяции" [8] (Все цитаты П.Г.Кузнецова приводятся из этой работы) следующим образом. "Ситуация, с которой мы имеем дело, формально может иметь следующий вид: мы приступаем к работе в комплексной научной программе, не располагая логической теорией; мы заканчиваем работу в комплексной научной программе, когда нужная теория разработана и физически реализована в работающей конструкции. Мы начинаем с утверждения "формальной теории нет", а заканчиваем утверждением: "формальная теория есть".

При решении поставленной проблемы, ведущей идеализацией для П.Г.Кузнецова выступила "модель проецирования". Он приводит аналогию с описанием какого-нибудь тела, например, кирпича, в системах координат, по-разному ориентированных друг относительно друга, с разными масштабами и т.д. Вид формулы объема кирпича будет различным для каждой из СК. "Вся совокупность формул, выражающих объем, может рассматриваться как совокупность высказываний об одном и том же объекте, но сделанных с использованием различных языков".

На основании аналогии между геометрическим проецированием и знанием П.Г.Кузнецов делает сильное утверждение об общем методе. "Подобно тому, как математика нашла способ опознавать один и тот же объект, записанный в разных системах координат, может быть найден и способ интеграции профессиональных знаний. Этот способ использует ту же основу, что и математика - мы имеем ввиду тензорный анализ. (...) Мы не видим оснований для отказа от того языка, когда переходим от проблем теоретической физики к проблемам биологии, медицины или техники. Мы полагаем, что развитие тензорного анализа в той форме, которую ему придал Г.Крон в "Тензорном анализе сетей", вполне пригодно для создания универсального языка науки и техники".

Системы знаний - теории

П.Г.Кузнецов различает два вида истинности знания. Один вид истинности он называет "правильностью" и относит к соответствию аксиом теории физической реальности. Второй вид истинности соответствует логической непротиворечивости системы знания, выводимой из данных аксиом.

Приводя в пример работы средневековых схоластов и неэвклидовы геометрии, П.Г.Кузнецов подчеркивает, что выбор системы аксиом может быть произвольным, он никак не влияет на истинность математической теории в смысле ее непротиворечивости. Установление соответствия теории с "физической реальностью" лежит вне области математики. При переходе к конкретной прикладной области физики, химии, биологии и т.д. каждый раз отдельно устанавливается правильность или неправильность аксиом.

Рис.22. Логическая схема теории по П.Г.Кузнецову

Математическая теория может быть описана графическим языком: если заменить в нем все высказывания и все формулы символом O, а все связи между высказываниями как ->, то любой математический текст превращается в ориентированный граф, или сеть.

Логика развития научных знаний

"Расширение списка известных аксиом математической физики, то есть ее законов природы, и уточнение границ применимости для каждой аксиомы, составляют сущность процесса развития науки. Логические теории непротиворечивы в границах данной системы аксиом, в то время, как процесс развития математики и науки как целого связан с отрицанием старой системы и утверждением новой системы аксиом, которые имеют силу за пределами старой теории.

Логическая теория является непротиворечивой, если выводимые формулы не противоречат аксиомам теории. Аксиомы теории не ставятся под сомнение. Отрицание аксиом - это не обычное логическое противоречие, а новый вид отрицания, который соответствует диалектическому отрицанию. Такое отрицание системы аксиом Евклида не отбрасывает, не зачеркивает геометрии Евклида, а указывает на ограниченность данной теории. Такое отрицание сохраняет старую теорию, создает себе новую и обе объединяет в высшем синтезе как части более сильной физической теории. Такое отрицание претерпела и механика Ньютона как часть более сильной физической теории".

Соотнесение математической теории и "физической реальности"

"В математике каждому вводимому термину предшествует так называемый квантор существования, который делает законным использование соответствующего термина. В реальной ситуации роль квантора существования возлагается на измерительный прибор."

Последовательное применение этого принципа операционального определения терминов обеспечивает однозначность значения каждого термина. П.Г.Кузнецов вводит понятие "экспериментального пространства", в котором число осей соответствует числу шкал измерительных приборов. Отождествление значения термина с измерительной процедурой фактически означает, что термины являются физическими величинами.

Полагая в качестве фундаментальных размерности длины [L] и времени [T], П.Г.Кузнецов и Р.О. ди Бартини построили таблицу всех возможных физических величин. Каждый термин любой прикладной теории всегда соответствует определенной физической величине из таблицы.

Опираясь на исследования японских ученых С.Окада и Р.Онодера, каждую из величин в таблице П.Кузнецов рассматривает как тензор. Степень длины (положительная) дает число контрвариантных, а отрицательная степень времени дает число ковариантных индексов. Так, например, величина "ускорение" берется как один раз контрвариантная относительно изменения длин, и дважды ковариантная относительно времени.

П.Г.Кузнецов и Р.О. ди Бартини сделали вывод, что кинематическая таблица физических величин является таблицей законов природы.

"Покажем эту связь в явном виде. Приравняем скорость изменения площади постоянной: Q_ab...g= const. Перенесем постоянную в левую часть уравнения: Q_ab...g - const=0. Заменим левую часть одной буквой: W_ab...g=0. Нетрудно видеть, что это тензорная запись закона Кеплера: "Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади". (...) Вообще, любой закон физики, который формулируется как закон сохранения, можно записать в подобном виде."

П.Г.Кузнецов рассматривает столько различных физик, сколько существует различных геометрий: каждому классу физических явлений соответствует своя геометрия. Физические явления описываются как группа преобразований с инвариантом полилинейной формы, а инвариант берется из таблиц физических величин.

Характеристика П.Г.Кузнецовым подхода Г.Крона

Для П.Г.Кузнецова "физическая реальность" задается законом сохранения, то есть инвариантностью определенной величины из кинематической таблицы. Не связь систем координат тензорным преобразованием порождает полагание некого "абстрактного объекта", трансцендентного частному наблюдателю, а полагание "закона природы", "объекта" обуславливает саму возможность регулярного перехода между системами координат.

Из описаний подхода Г.Крона П.Г.Кузнецовым видно, что он понимает его как использование "модели проецирования" первого вида, напрямую связанной с представлениями об эквивалентности. При этом он привлекает и другие модели, характеризующие метод инвариантов и понятие эквивалентности. "Понятие "движение" в геометрии связано с представлением об инварианте, т.е. такой характеристикой перемещаемого или изменяемого объекта, которая остается неизменной. (...) Если группа автоморфизмов объединяет фигуры, подобные по форме, то группа преобразований Г.Крона объединяет конфигурации, равные по величине. (...) Операцию разрезания (отсюда и тиринг-тополгия) можно проделать с листом бумаги, разрезая его на части и раскладывая произвольным образом. Инвариантом этой группы будет величина площади. (...) В общем случае группу обобщенного движения можно задать инвариантом полилинейной формы, где величиной остающейся неизменной может быть любая величина из системы Р.О.Бартини. (...) Сети Г.Крона образуют группу, инвариантом которой является величина мощности. Сети считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда существует неизменная величина мощности. Только низкая математическая культура могла породить такую дискуссию, как дискуссия о роли инварианта мощности в эквивалентном преобразовании электрических сетей. Если исключить этот инвариант, то теряет смысл понятие эквивалентность."

"Модель проецирования" в подходе П.Г.Кузнецова

П.Г.Кузнецов соотносит логические элементы "модели проецирования" с философскими категориями "понятие", "явление" и "сущность".

"Особое место среди тензоров, каждый из которых может быть отождествлен с той или иной физической величиной таблицы Р. О. ди Бартини, занимает тензор соединения или тензор преобразования. Формально - это тензор, который имеет один штрихованный индекс, а другой индекс нештрихованный. Это означает, что тензор является посредником между двумя системами координат. Любой инженер и любой физик знает, что систем координат как физических явлений в природе нет: системы координат вводит исследователь, когда желает описать природное явление математически. Таким образом, оказывается, что тензор соединения представляет собой соединение двух точек зрения на один и тот же неизменный объект реального мира. Точки зрения на объекты реального мира всегда принадлежат отдельным людям, каждый из которых может выбирать свою точку зрения. Более того, нахождение тензора преобразования, который связывает две точки зрения на один и тот же объект реальности, свидетельствует о том, что два исследователя достигли взаимопонимания. Является ли взаимопонимание двух исследователей фактом физической реальности? Мы отвечаем на этот вопрос положительно. До сих пор физические теории игнорировали в описании физической реальности сам факт существования человеческого сознания, отказывая собственному мышлению физика в существовании. Но ни один из физиков не сомневается в собственном существовании. Более того, он не сомневается в том, что обладает мышлением. Но как записать собственные мысли физическим языком? Это не праздный вопрос. Мы хотим уметь отличать НАШИ МЫСЛИ о физической реальности, которые еще далеко не адекватны ей, от самой физической реальности вне нашего сознания. Оказывается, что понятиям в индивидуальном мышлении человека и соответствуют группы преобразований. Эту же мысль можно выразить иначе: каждому понятию в индивидуальном мышлении соответствует группа преобразований. Проблема распознавания образов, процесс формирования ПОНЯТИЙ и есть процесс формирования группы преобразований. Инвариант этой труппы преобразований и называла классическая философия термином сущность, а проекции этой сущности в частную точку зрения исследователя - явлением.

Тензорный анализ и создавался как инструмент описания закономерностей физического мира, позволяющий отличать физическую реальность от случайной точки зрения, зависящей от выбора той или иной системы координат. Теперь, когда объекты реальности нашли свое место в таблице физических величин, мы получили возможность корректно отделять субъективную точку зрения исследователя от самих объектов реальности. Это субъективность точки зрения и демонстрируется тензором преобразования как понятием."

Приведенный отрывок свидетельствует о том, что П.Г.Кузнецов сам использует "модель проецирования", причем в том особом виде, который характерен для релятивистской физики и Г.Крона. Он формулирует идею инварианта точно в духе Ф.Клейна: нахождение инварианта позволяет отвлечь произвол систем координат, по аналогии понимаемых как субъективные точки зрения. Наша реконструкция метода Ф.Клейна показывает, что инвариант как раз может трактоваться как сущность объекта.

Наш анализ позволяет выделить ограничения подхода П.Г.Кузнецова. Действительно, первый вид "модели проецирования предполагает, что структура объекта открыта и одинаково дана во всех проекциях. Такое возможно только в случае уже известного, но недоопределенного объекта. В реальности ситуация взаимодействия разных специалистов другая. Это - ситуация неизвестного объекта. Ситуация, в которой знания разных специалистов "схватывают" объект только отчасти. Ей соответствует второй вариант "модели проецирования", изображенный на рис.1 и рис.11.б).

Основанием использования первого варианта "модели проецирования" для П.Г.Кузнецов выступает то, что он заранее метафизически положил полноту реальности, физикалистскую реальность, описываемую законами, сведенным в таблицу физических величин.

"Мета-логика" П.Г.Кузнецова

П.Кузнецов относит к объективной реальности инвариантные физические величины. "Обратим внимание на физический смысл понятия "инвариант" в обыденной жизни. Оно выражает некоторое значение чего-то неизменяющегося, то есть сохраняющегося. Неизменяющееся и сохраняющееся в обыденной жизни принято называть существующим, а иногда сущностью. Выразить сущность того или иного явления природы - значит найти нечто, что сохраняется в глубине наблюдаемой смены явлений. Однако эти сущности могут быть различных порядков: то, что является сущностью относительно одних явлений может оказаться само явлением, но относительно сущности более глубокого порядка."

Рис.23. "Синтез" формальной и диалектической логик на основе "модели проецирования"

Реализуемость идеи "мета-логики"

Представляется чрезвычайно заманчивым рассматривать структуру каждой из теорий как сеть, а диалектическое снятие противоречия между теориями - как построения группы преобразований одной сети в другую. В основе такого преодоления формально-логического закона исключенного третьего лежит использование "модели проецирования". В качестве формального аппарата может быть привлечен тензорный аппарат Г.Крона. На основе подобной "мета-логики" можно было бы создавать системы искусственного интеллекта, способные синтезировать разные системы научных знаний!

Вместе с тем у такой идеи есть ряд предпосылок, которые не кажутся нам очевидными, а даже, напротив, представляются сомнительными.

Первая посылка состоит в том, что Г.Крон разработал аппарат для анализа любых сетей. П.Г.Кузнецов прямо высказывает эту мысль: "(...) термин "сеть", который был введен Г.Кроном, относится к любой инженерной структуре, состоящей из взаимосвязанных симплексов, образующих полиэдр. Если речь идет о структуре из 0- и 1- симплексов, то говорят о 0- , 1- сети и т.д. до n-сети. Этот специальный смысл термина "сеть" был потерян при переводе "Диакоптики".

При анализе примера метода Крона мы специально подчеркивали существенность работы с линейными соотношениями величин. Сети, представляющие собой направленный граф, в котором узлами являются слова, высказывания или формулы, никоим образом не может быть подведен под правила линейных преобразований. Тем самым исчезает основа применения тензоров - полилинейных форм.

Попытка реализовать "мета-логику" в компьютерных системах описана в работе А. Е. Арменского "Тензорные методы построения информационных систем". Автор как раз рассматривает метод Г.Крона как универсальный для любых полиэдральных сетей. Выше мы упоминали, и здесь повторим, что на этапе конкретизации проекта, А. Е. Арменский вынужден вводить булевы переменные и фактически сводить тензорный аппарат к матрицам и к классификации по выборке параметров.

Вторая предпосылка заключается в том, что научную теорию можно описать как сеть. Хотя современная формальная логика претендует на решение такой задачи, по крайней мере для математических теорий, рассуждения крупных математиков (Г.Вейля, Ф.Клейна) о природе математического мышления убеждают в обратном: построение логического дискурса является лишь "одной третью" математической теории, две друге составляют построение новых идеальных объектов и создание новых операциональных языков. В исследования И.Лакатоса, в частности, в работе "Доказательства и опровержения" продемонстрировано, что содержанием математических теорий являются особые мысленные эксперименты, а последующие логические описания выхолащивают данное содержание. Фундаментальные методологические трудности перевода любого реального научного текста в формально-логическую сеть описаны в работе Г.П.Щедровицкого "Процессы и структуры мышления".

Третья предпосылка, уже высказанная нами выше, состоит в том, что первый вид "модели проецирования" не отвечает реальности синтеза знаний разных специалистов. При разрешении противоречий, возникающих в ходе полипредметных исследований и разработок, "физическая реальность", то есть "объект" не может сразу полагаться в форме инвариантной величины. Исследования фактов исторических открытий показывают, что т.н. "законы природы", в том числе и все законы сохранения, строятся на основе особых идеализаций самого объекта. Математические формы законов строятся параллельно с онтологическим конструированием и на основе его.

Онтологическое конструирование, идеализация и моделирование - особые действия мышления, заполняющие пустое место неизвестного объекта во втором варианте "модели проецирования". Если мы считаем наличные знания лишь проекциями объекта, мы должны признать, что в каждом из них неизвестный объект отражен лишь частично. Восполнить пробелы можно единственным способом - угадав, a`priori предположив устройство объекта как бы с позиции "абсолютного наблюдателя", а затем пробуя вывести из этого полагания все частные точки зрения "субъективных наблюдателей". В этом суть методологической схемы двойного знания, разработанной в Московском Методологическом Кружке (см.[9]).

 

Заключение первой части

В первой части был проделан обзор использования "модели проецирования" в различных подходах, нацеленных на решение задач естественно-научного исследования и инженерных разработок.

Нами было выявлено два варианта "Модели проецирования". Первый из них, по нашему мнению, используется в работах Г.Вейля, Г.Крона, П.Г.Кузнецова.

Второй вариант соответствует методологической схеме двойного знания и методу конфигурирования знаний. Мы не обнаружили описаний или методологических применений этого варианта в рассмотренных математических и естественнонаучных работах.

Анализ использования "модели проецирования" показал, что предметное научное знание не существует само по себе, а только в связи с мета-знанием. Мета-знание является особым оператором мышления, регулирующим, что именно в знании относится к объекту, а что - к отражению объекта. "Модель проецирования" выполняет функцию такого мета-знания.

В соединении с математическим аппаратом тензорного анализа и разного типа геометрий, "модель проецирования" может использоваться для построения особой логики, соединяющей в себе черты формальной и диалектической логик. Наш анализ показывает, что существенными ограничениями при разработке такой логики являются:

• природа описываемых объектов и тензоров: описания объектов должны быть сведены к линейным соотношениям величин;
• отсутствие формальных способов сведения неизвестного объекта к известному, но недоопределенному.

Содержательный потенциал "проецирования" как мета-знания и конструктивной модели знания не исчерпывается рассмотренными математическими формализациями. В последующем мы намерены рассмотреть использование "модели проецирования" в работах Г.П.Щедровицкого. Мы рассчитываем, что полученные при этом результаты позволят увидеть новые возможности формализации знания и построения содержательной логики.

 

Литература

1. А. Е. Арменский. "Тензорные методы построения информационных систем".
2. Р.И.Березуев. Методология анализа сложных систем (Тензорный метод Г.Крона). 2001 г.
3. Р.И.Березуев. О математически неразрешимых задачах. www.ncd.org.ua/roma/K_geometry.htm
4. Г.Вейль. Математическое мышление. М., "Наука", 1989 г.
5. Н.В.Ефимов. Высшая геометрия. М., "Наука", 1978 г.
6. Ф.Клейн. Элементарная математика сточки зрения высшей. Геометрия. М.,"Наука", 1989 г.
7. Г.Крон. "Тензорный анализ сетей" М., "Советское радио", 1978 г.
8. П.Г.Кузнецов. "Искусственный интеллект и разум человеческой популяции". www.nlgroup.ru,
9. Г.П.Щедровицкий. Избранные труды. М., 1995 г.

© А.Нечипоренко, 2004, e-mail: praxis@noolab.ru