В марте 1968 года, в Скенектади, небольшом американском городке штата Нью-Йорк скончался Габриэль Крон - ученый и инженер, идеи которого продолжают волновать исследователей в различных странах мира.
В памятной статье, помещенной по этому поводу в журнале "Элекричество" отмечались заслуги Крона, как основоположника тензорного анализа электрических цепей и машин, создателя обобщенной теории электрических машин и диакоптики - метода расчета сложных систем по частям.
Указывалось также на возрастание интереса к работам Г.Крона в СССР в связи с распространением электронных вычислительных машин, которые позволяют наиболее эффективно реализовать преимущества тензорной методологии Крона при анализе сложных систем.
Но такое мнение о работах Крона сформировалось не сразу. В 1950 году в том же журнале "Электричество" было помещено письмо А.Берендеева "О работах Крона по применению тензорного исчисления в электротехнике", в котором автор писал: "На лиц, недостаточно знакомых с тензорным аппаратом математики и вместе с тем предрасположенных к низкопоклонству перед американскими сенсациями, статьи Крона произвели незаслуженное впечатление" а редакция, разделяя мнение автора, о порочности методологической стороны концепций Крона призвала читателей к их критическому разбору.
Работы Крона вызывали острые дискуссии не только в нашей стране. В частности, это было вызвано тем, что его идеи были основаны на инженерной интуиции, не всегда подкрепленной строгими доказательствами. Это обстоятельство, а также использование смешанной математической и электротехнической терминологии в работах Крона отпугивало от его работ "чистых" математиков. С другой стороны, рассуждения Крона опираются на фундаментальные понятия современной физики и математики, с использованием аппарата тензорного анализа, причем в непривычной форме, что мешает инженеру с обычной подготовкой разобраться в идеях Крона и применить их на практике. Сам Крон писал о своей теории: "Когда автор в начале 30-ых годов выступил с единой тензорной и топологической теорией вращающихся электрических машин и через несколько лет - с тензорной и топологической теорией неподвижных электрических сетей, он столкнулся с очень неприятной неожиданностью. В большинстве технических журналов совершенно непредвиденно новые понятия, введённые автором были решительно объявлены ненужными или ошибочными... С другой стороны ряд сотрудников Института перспективных исследований в Принстоне (О.Веблен, Н.Вейль, Дж. фон Нейман) и несколько бывших сотрудников того института (Б.Хоффман, П.Ланжевен и др.) настойчиво советовали автору продолжать дальнейшие исследования. Даже Эйнштейн говорил автору, что он знает от своих сотрудников о его работах (поскольку последний использовал в практических задачах эйнштейнову нериманову динамику общей теории электрического и гравитационных полей). Мнения авторитетных ученых не имели ничего общего с крайне вздорными высказываниями этой группы инженеров".
Хотя в работах Крона использован язык электротехники, он неоднократно подчёркивал, что эта терминология не является обязательной и его метод может быть изложен на языке самых современных математических теорий, таких как алгебраическая топология, геометрия дифференцируемых многообразий, групп гомологий и когомологий, не говоря уже об обычном тензорном и матричном исчислении.
Работы Крона, который в течение 35 лет опубликовал 5 монографий и более 100 статей нашли в зарубежной литературе широкий отклик. В многочисленных работах разных авторов его методы применялись к самым разнообразным задачам. В ряде стран действуют специальные научные объединения ученых, развивающие тензорные методы: "Тензорный клуб" в Великобритании или исследовательская ассоциация прикладной геометрии в Японии.
В отечественной литературе работы Г.Крона получили значительно меньшую известность. Лишь в 1955 году на русский язык с большими сокращениями был переведен его "Краткий курс тензорного анализа для инженеров-электриков" (“A short couurse in tensor analysis for electrical engineers”), написанный на основе работ 1932-39 годов и получивший название в русском переводе - "Применение тензорного анализа в электротехнике" (М., 1955). Многочисленные статьи в различных иностранных журналах оставались труднодоступными, а понимание их без знания общей методики Крона было весьма затруднено.
В 1972 году была предпринята попытка восполнить данный пробел путем издания на русском языке монографии Крона "Исследование сложных систем по частям - диакоптика", обобщающей многолетние исследования автора. Однако, крайне лаконичная манера изложения, предполагающая знание предыдущих работ автора по-прежнему не оставляла надежд на овладение тензорными методами теми, кому был адресован труд - инженерами-практиками. Наконец, в 1978 году вышел перевод объемного труда Крона - "Тензорный анализ сетей", вышедший в свет в оригинале еще в 1939 году. В 1985 году вышла также книга А.Петрова "Тензорная методология в теории систем", в которой в доходчивой форме освещаются идеи Крона, приводятся примеры расчета экономических систем с использованием тензорной методологии. Приведённая им библиография показывает, что методы Крона до сих пор не нашли широкого распространения в нашей стране.
Данная обзорная статья ставит своей целью познакомить читателей с личностью Г.Крона, привлечь внимание исследователей к богатству его идей, показать, что значение его работ не только не уменьшается, а наоборот будет непрерывно расти.
Габриэль Крон, восьмой и последний ребенок в семье, родился 23 июля 1901 года в маленьком городке Наджибанья, позднее переименованным в Байя Маре, расположенном в отдаленном районе Карпатских гор в Австро-Венгрии (Трансильвания). Стремление Крона к знаниям и целеустремленность проявились еще в школьные годы. В гимназии он интенсивно изучал физику и математику, посвящал много времени изучению астрономии, стенографии и языкам: английскому и немецкому. Будучи еще гимназистом, Габи (так называли его товарищи) был приглашен в качестве домашнего учителя в Фельсобанье, в семи милях от дома. Эту деятельность он продолжал вплоть до окончания гимназии, каждый день преодолевая четырнадцатимильный путь. В семнадцать лет Габи уже умел напряженно работать. Время до полудня занимали обязанности учителя, с 1 до 2 он практиковался в стенографии, с 2 до 3 решал алгебраические задачи, с 3 до 4 изучал французский язык, с 4 до 5 физику, с 5 до 6 занимался переводами с немецкого и так далее до 10 часов вечера.
В июне 1919 года Г.Крон получил диплом об окончании гимназии. Возник вопрос, где дальше продолжить образование. В результате первой мировой войны Австро-Венгрия развалилась, и Трансильвания вошла в состав Румынии. Крон не знал румынского языка, поэтому он решил, что его будущее связано с другими странами. Но для продолжения образования за границей нужны были деньги. Немного денег и страстное желание учиться принес с войны старший брат Джозеф. Габриэль уговорил брата поехать учиться в Америку, обещая, что он за один год подготовит его к сдаче экзаменов для получения гимназического диплома. В конце октября 1919 года Джозеф приступил к интенсивным занятиям. Габи отобрал для чего не более 10 процентов страниц из тех книг, которые необходимо было прочитать, и Джой изучал только их. В конце января Джой сдал экзамены за четыре класса, в апреле за пятый и шестой, в июне за седьмой и восьмой, и в августе он сдал экзамены за полный курс гимназии. Путь в Америку был открыт, и, отправившись из Антверпена, братья в январе 1921 года прибыли в Нью-Йорк. В сентябре они приступили к занятиям в университете штата Мичиган, в то же время подрабатывая на жизнь и учебу. Габриэль мыл посуду в ресторане, а Джой работал в магазине, торгующем мехами.
На предпоследнем курсе университета Габриэль написал небольшую работу "Основы новой космологии", в которой он попытался описать вселенную как инженер, игнорируя такие препятствия, как законы гравитации и относительности. В то же время у него впервые зарождается мечта осуществить кругосветное путешествие. После завершения образования, заработав в течение четырех недель небольшую сумму для самого необходимого, он с двадцатью восемью долларами в кармане отправляется в Калифорнию.
Когда он достиг Лос-Анжелеса, у него оставалось семь центов в кармане, и он устроился в Американскую машиностроительную компанию в качестве инженера по разработке электромоторов. Вскоре он перешел в другую компанию ("Роббинс и Майер") в Спрингфилде, штат Огайо; здесь он работал под началом В.Брансона. (В 1938 году Крон посвятил ему свою книгу "Применение тензоров к анализу вращающихся электрических машин"). В 1926 году Крон вернулся в Калифорнию и с тремястами долларов и учебником по дифференциальным уравнениям в рюкзаке сел на танкер, направляющийся на Таити.
Прожив несколько недель на Таити, Крон отправился на острова Фиджи. Во всех его путешествиях, послеобеденные часы посвящались изучения математики. После островов Фиджи путь Крона пролёг к Сиднею, где он на некоторое время оставался, чтобы подзаработать денег на дальнейшую дорогу через Австралию и затем в Азию.
Он писал: "В этих путешествиях у меня начали складываться основные представления многомерного векторного анализа. Под воздействием моих ежедневных занятий с картами неизвестных территорий, аналогичная мысленная картина инженерных структур, таких, как электрическая машина, или мост, или самолет, запечатлевалась в моем мозгу. Они представлялись мне, как набор многочисленных пространств, соединенных вместе в единое целое подобно тому как многочисленные страны, острова и континенты связаны переплетением дорог, обычаев и законов".
"Если связь между различными членами исчезает, исчезает и то, что превращает сорок восемь независимых штатов в единую Америку, или тысячи отдельных деталей в самолет. Несколькими годами позже я установил, что математики уже занимались такого рода расчетами под названием "тензорный анализ".
Далее маршрут Крона пролег через Борнео, Манилу, Гонконг и Сайгон, откуда он направился в Бирму и затем в Калькутту. На поезде он пересек Индию, добравшись до Карачи. На борту корабля он преодолел Персидский залив, посетил Багдад, Дамаск, Каир и из Александрии прибыл в Констанцу, в Бухарест и затем к родителям в Байе Маре.
Несколько месяцев Крон провел дома, продолжая заниматься и ухаживая за своей будущей женой Анной. Вернувшись в Америку в конце 1928 года, он приступил к работе в Линкольновской электрической компании в Кливленде, а в 1930 году он опубликовал первую из его более чем ста научных статей.
Эта работа под названием "Обобщенная теория электрических машин" положила начало серии его работ, представляющих все более и более исчерпывающий анализ машин и систем.
Он выдвинул идею, что все типы электрических машин должны быть специальными случаями обобщенной машины и понимание общей машины должно приводить к изобретению новых типов машин.
После перехода в компанию "Вестингауз" в Спрингфилд он написал вторую работу, посвященную рассмотрению поведения витка в воздушном промежутке под воздействием синусоидального поля.
В годы американской депрессии Крон вместе с женой возвращается в Байя Маре, где продолжает изучение математики, и, в частности, впервые знакомится с неримановой геометрией. Усматривая аналогию между абстрактными понятиями и сложным взаимодействием электрических, магнитных и механических сил в машинах, он пишет в 1934 году свою классическую работу "Нериманова динамика вращающихся электрических машин", которая в 1935 году была удостоена премии имени Джорджа Монтефиоре Льежского университета.
Эта работа сразу же вызвала широкие дискуссии и возражения. Применяя математические понятия таким образом, как этого никто до него не делал, Крон придавал новое значение уравнениям и устоявшимся правилам, из-за чего многие специалисты критиковали его работы, считая их неоправданно сложными, непригодными для практического использования. Когда Крон впервые выдвинул свои идеи, не было больших компьютеров и инженеры мало интересовались большими системами. Потребовалось время, чтобы их значение было оценено.
Крон всегда стремился к тому, чтобы его теории были приложимы к возможно большему кругу явлений, к максимальному обобщению. Поэтому его методы были более сложными, чем это требуется для какой-либо отдельной задачи. В этом – одна из причин того, почему методы Крона не получают широкого распространения. Инженеры, которые имеют дело с одной конкретной частной машиной, предпочитают использовать простейшие методы и испытывают мало интереса к элегантным обобщенным теориям Крона.
С 1934 года и до последних дней жизни Крон работал в компании "Дженерал электрик", где он занимался электрическими машинами, энергетическими системами и компьютерами.
Продолжая напряженно трудиться, Крон в период с 1936 по 1942 год публикует в "Дженерал Электрик Ревю" многочисленные статьи, посвященные построению и использованию эквивалентных электрических цепей для различного рода машин и систем. Эти статьи были изданы в виде его третьей книги "Эквивалентные цепи электрических машин" в1951 году. Предыдущие его книги "Тензорный анализ сетей" и "Краткий курс тензорного анализа для инженеров-электриков" появились соответственно в 1939 и 1942 годах.
В 1942 году Крон переводится в отдел паровых турбин, где работает над задачами изучения напряжений, возникающих в стальных конструкциях. В 1945 году он начал работать в исследовательской лаборатории, где решает задачи температурного распределения, проблемы контроля ядерных реакторов и др.
В этой лаборатории (за небольшим перерывом с 1950 по 1953 год) Крон проработал до 1963 года. С 1963 года он связан с инженерным аналитическим отделением, откуда в возрасте 65 лет ушел на пенсию. Он умер после короткой болезни 25 марта 1968 года.
Крон был яркой индивидуальностью, пионером, чьи достижения были оценены сравнительно немногими, когда его работы были впервые опубликованы, но чьи методы анализа сложных систем сейчас широко используются.
Его награды включают уже упомянутую премию Монтефиоре, он являлся почетным мастером наук Мичиганского университета (1936 г.), почетным доктором Ноттингамского университета (1961 г.), патроном и почётным членом тензорного клуба Великобритании и исследовательской ассоциации прикладной геометрии в Японии.
Оригинальность Крона является результатом его тензорной точки зрения. Тензорная методология привела его к развитию многих мощных методов исследования. Сделанное им можно условно разделить на три части:
Первые две указанные взаимосвязанные части представляют собой достаточно полную теорию. Отметим прежде всего, что инженеры охотно принимают результаты, которые легко вписываются в существующие технологии и не испытывают никакого желания заниматься абстрактными теоретическими исследованиями, какими кажутся тензорные методы.
Но тензоры обладают особыми свойствами, которые позволяют рассматривать их как некие сущности.
Рассмотрим это на примере вектора, который, как известно, можно интерпретировать графически в виде стрелки. Если мы вводим систему координат, мы можем определить компоненты вектора и записать их в виде матрицы-столбца или матрицы-строки. Но отождествлять матрицу с самим вектором нельзя. Когда мы изменяем систему координат компоненты вектора изменяются и мы будем иметь различные матрицы. Но вектор остается тем же самым, что и прежде, независимо от изменения системы координат. Таким образом вектор не является просто матрицей. Это вообще не матрица. Это объективная сущность, которая может быть представлена бесконечно большим числом матриц, каждая из которых соответствует определённой системе координат, и когда мы переходим от одной системы координат к другой, компоненты вектора преобразуются в соответствии со специальным правилом, которое отражает объективность этой неизменяющейся сущности.
Вектор является примером простейшего тензора первого ранга. В трехмерном пространстве он имеет три компоненты, соответствующие трем осям системы координат. В n-мерном пространстве он имеет "n" компонент. Тензор ранга "r" имеет в сущности те же свойства, что и вектор за исключением того, что у него число компонент равно nr и для "r" большего чем 2 его невозможно представить визуально.
Решающими утверждениями являются: 1) что тензор отражает объективную реальность; 2) его компоненты преобразуются в соответствии со специальным правилом, когда изменяется система координат. Тензорное свойство (2) показывает, что в какой-либо технической структуре уравнения поведения наиболее удобно записывать в тензорной форме, поскольку тензорные свойства, которым соответствуют физические сущности, не появляются и не исчезают при преобразованиях.
Крон продемонстрировал применимость этого подхода учета физической природы тензоров в его обобщенной теории электрических сетей и машин.
Основополагающая идея Крона по применению тензорного анализа состоит в том, что две различные сети, имеющие одни и те же ветви, рассматриваются как две различные системы координат одной и той же физической сущности. Мысль о том, что сеть есть набор ветвей, связанных в единое целое через тензор соединения приводит к следующему фундаментальному выводу: при преобразованиях тензор соединения может быть интерпретирован как тензор преобразований, соединяющий различные подсети в большую сеть.
Одним из наиболее значительных достижений Крона является его теория неримановой динамики электрических машин. Выдающееся значение этой теории состоит не только во введении тензора соединений, который демонстрирует возможности единого подхода при создании общей теории машин, но также в получении такой процедуры решения, которая преобразует уравнения динамической системы к статическому случаю. А из машины с неподвижными осями можно получить уравнения любой вращающейся машины с помощью тензорных преобразований.
Исходным пунктом для получения уравнений, описывающих поведение электрической машины любого типа, явились динамические уравнения Лагранжа, которые, как известно, устанавливают соотношения между обобщёнными моментами и обобщенными силами.
Уравнения Лагранжа могут быть выражены в тензорной форме при условии замены обычного дифференцирования так называемым ковариантным дифференцированием, которое учитывает изменение компонент тензоров при параллельном переносе в криволинейном римановом пространстве. Однако, обычные формулы ковариантного дифференцирования применимы только в случае голономных систем координат (систем с геометрическими, т.е. зависящими только от взаимного положения, но не от скоростей связями). В неголономных системах появляются дополнительные члены, однако, Крон успешно обошел это препятствие, показав, что в случае электрической машины дополнительные члены ведут себя как обычные тензоры. Но их присутствие в ковариантном дифференцировании изменяет геометрию пространства от римановой к неримановой. Таким образом Крон сумел из уравнений Максвелла-Лагранжа получить инженерные формулы для расчета любой электрической сети, преодолев неприятности неголономности, возникающие при изменении электрических осей, простым переходом от римановой к неримановой геометрии.
В последующих публикациях Крон все более совершенствовал теория преобразований, применяя ее к различным типам машин, добиваясь обобщения теории с помощью интеграции результатов в теорию решения электрических сетей и систем по частям. (диакоптика).
Диакоптика была предложена Г.Кроном в начале 1950 года. Основная идея диакоптики состоит в анализе системы путем разрывания ее на отдельные части. Общее решение полной системы получается с помощью вначале решенных индивидуальных разорванных частей; вторым шагом является соединение частей с помощью преобразования ранее полученных решений для частей.
Метод разрывания (тиринг-метод от английского слова tear) был применен Кроном для установления уравнений полностью разорванной модели, которую он назвал "примитивной"; в качестве которой выбирается наиболее простая, несоединенная система. Решения отдельных подсистем, образующих примитивную систему, и соответственно, результирующее решение, могут быть точными или приближенными, могут представлять линейные или с определенными предосторожностями нелинейные системы. Они могут быть выражены в численной форме или на языке матриц, имеющих своими элементами действительные или комплексные числа, функции времени, дифференциальные или другие операторы и т.д. На примере многочисленных задач Крон убедительно показал, что метод разрывания по частям применим для решения алгебраических уравнений, уравнений в обычных и частных производных с различными граничными условиями, задач по нахождению собственных значений. Метод допускает постоянное расширение и обобщение. Этот процесс, по словам Крона, аналогичен строительству небоскреба путем сооружения стального каркаса и только после этого заполнения промежутков между балками так, как это необходимо.
Большим преимуществом метода является экономия времени расчётов. Типичной для больших, запутанных систем является задача обращения матриц с большим числом строк и столбцов (от десятков до тысяч), которая даже от современных компьютеров требует многих часов работы. При использовании диакоптики разрывание системы на n частей, дает сокращение времени при матричном обращении до величины 2T/n2, где Т время обычного (без разрывания) обращения.
Диакоптика Крона базируется на нескольких ключевых принципах. Первый из них требует полноты записи всех уравнений для обобщенных сил и откликов на них, знания дополнительных уравнений для откликов и взаимных отношений, существующих между силами и откликами. Другими словами говоря, определение "уравнений состояния" какой-либо физической системы предполагает существование стольких уравнений, каково полное число сил и откликов в системе. Подобным же образом "уравнения решений" подразумевают существование такого же числа уравнений. Учет такого рода осуществляется "автоматически" с помощью записи уравнений в тензорной форме. Избыточность уравнений с лихвой компенсируется теми преимуществами, которые дает полная математическая модель и прежде всего возможностью применения тензорного аппарата.
Второй принцип заключается в использовании моделей электрических сетей для записи уравнений сил и откликов. Электрические цепи существуют на бумаге, и нет необходимости в их физической реализации. Они являются лишь легко обозреваемыми моделями более общих топологических понятий, лежащих в основании метода рассуждений Крона.
Третий ключевой момент – это открытие "ортогональной природы" электрических (и других типов) сетей, обладающих всегда несингулярными (квадратными) матрицами преобразования. Благодаря использованию конфигурационного пространства переменных обобщенных сил наряду с пространством откликов (ортогонального к пространству силовых переменных) обеспечивается возможность для перехода от полных "уравнений состояния" к полным "уравнениям решения" и, наоборот, на любой стадии исследования.
Наиболее важными ключевыми понятиями являются понятия "разрывания" на части сложных систем на произвольное число подсистем и обратное понятие "объединение" их в исходную или в любую другую возможную систему. Необходимо отметить, что топология - наука, которая имеет дело со свойствами взаимосвязанных пространств, берет свое начало в исследованиях Кирхгофа, касающихся прохождения электрических токов через сеть. Отсюда могло бы показаться, что подход Крона является только практическим приложением некоторой ветви топологии. Однако это не так. Топология на самом деле изучает только такие свойства сетей, которые остаются инвариантными при изгибании, растяжении или кручении ("резиновая геометрия"). Свойства, которые остаются инвариантными при разрывании сетей на изолированные части, находится вне сферы интереса топологии.
В противоположность топологии теория тензорного анализа и решения сложных физических систем по частям, основана прежде всего на использовании понятий, которые остаются инвариантными, когда сеть пространств разбивается на первичные составляющие пространства и после этого вновь соединяются во всевозможные конфигурации, включая исходную сеть. Это радикально новая точка зрения утверждает, что можно перейти от уравнений какой-либо одной возможной конфигурации к уравнениям любой другой конфигурации, составленной из тех же самых компонентов с помощью системы несингулярных матриц преобразования, которые образуют группу; так называемую группу, соединений. Представление этой группы есть то, что Крон назвал "тензором соединения".
Ключевые понятия "преобразование", "инвариантность", "группа" образуют основу для применения тензорного анализа сложных систем, который до Крона применялся в классической физике для решения задач в теории полей различной природы и динамических задач.
Инвариантами в зависимости от типа задачи может быть полная подводимая мощность в цепи, или только часть ввода, либо набор приложенных напряжений и т.д.
Тензорный подход устраняет барьер между такими кажущимися изолированными, а на самом деле двойственными понятиями как "уравнения состояния" и "уравнения решения", связывая их с помощью матриц тензора соединения, удобных для расчетов на ЭВМ.
Физические системы, используемые для соединения, могут быть совершенно различной природы. Они могут состоять из устройств, в которых протекают электрические, тепловые, химические, механические явления в их разлившей комбинации. Нефизические проблемы, которые могут быть представлены тензорными уравнениями, могут также быть решены методом диакоптики. В работах Крона и его последователей приводятся многочисленные примеры расчетов в различных областях инженерного дела, включая расчеты силовых конструкций, аэродинамику, системы контроля, современную электронику, а среди нефизических систем - экономические задачи, исследование операций и т.п.
Тензорный метод обладает рядом преимуществ. Одно из них - это то, что Крон назвал "массовым производством" решений. Действительно, если на части разделяется система, имеющая в своем составе одинаковые или немногие повторяющиеся формы, то одно решение для подсистемы пригодно для большого числа частей. Подобным образом процесс соединения часто идентичен для большого числа аналогичных устройств.
Решения систем могут быть "запасены впрок" или в численной форме или в форме структурных тензоров, так что они могут снова быть использованы всякий раз, как только появится необходимость в решении еще большей системы. Стандартные решения могут храниться и затем применяться в задачах различного типа - процедура, которая не следует из других методов решения.
Когда сложная система уже рассчитана, и после этого определенные ее части изменяются, то можно выполнить аналогичные изменения на соответствующих частях решения.
Нет необходимости начинать анализ и решение измененной системы всякий раз заново, надо лишь выполнить расчеты в измененной части. Таким образом, тензорные решения могут соответствовать тому же типу роста и эволюции, которую претерпевает изучаемая система.
Относительно применения моделей в виде электрических цепей Крон писал: "Очевидно, исходя из строго научной точки зрения, модель физического явления должна быть или алгебраической или геометрической (топологической). Поскольку автор инженер-электрик, а не математик или тополог, он должен выражать свои идеи в терминах той науки, с которой он наиболее знаком. Разумеется, использование модели электрической цепи не является абсолютно необходимым. Это только хитрость для замены записи чрезвычайно большого числа уравнений и манипулирования ими". Скажем только, что это действительно хитрость, граничащая с искусством. Кроном было построено множество моделей электрических цепей для самых различных типов задач: распространение теплового потока, волновое уравнение Шредингера, течение жидкости, диффузия нейтронов в ядерном реакторе, напряжения в упругих балках, силы валентности в многоатомных молекулах, линии передач электроэнергии, системы линейных и нелинейных уравнений в обычных и частных производных и другие. Однако после его смерти новых моделей электрических цепей, предложенных другими авторами, не появилось.
Наряду с электрическими цепями Крон использовал модельные представления в виде алгебраических диаграмм Роса, которые позволяют визуализировать структуру задач, требующих для своего решения использования взаимосвязанных многомерных пространств. Возможности в построении моделей, отображающих структуру задачи, Крон видел также в использовании теории групп и символической логики.
В последнее десятилетие Крон интенсивно разрабатывал теорию самоорганизующихся полиэдральных сетей или волновых автоматов. При этом отправным моментом в рассуждениях Крона, по-прежнему, является убеждение в том, что даже линейная (одномерная) сеть содержит намного больше информации о моделируемой задаче, чем просто набор точек в пространстве (описание характерное для обычной математики), поскольку ветви сети проникают в окружение данной точки и она, таким образом, оказывается связанной с ближайшим и более отдаленным окружением. Дальнейшее обобщение заключается в рассмотрении наряду с линейной сетью (ветви которой являются 1-симплексами, связывающими две соседние точки) сети, состоящей из плоскостей, в которой каждая плоскость соединяет три (или более) соседних линии. Теперь в n-мерном пространстве появляется дополнительная сеть, состоящая из таких треугольных плоскостей (2-симплексов), которые также, как и в случае линейной сети, могут образовывать открытые и замкнут пути. Поскольку четыре треугольника, имеющие общие ребра, образуют тетраэдр (3-симплекс), то становится ясным, что еще более богатая информация может быть получена от соседнего окружения данной точки, если n-мерное пространство заполнить полностью тетраэдральной сетью, образующей открытые и замкнутые пути. Этот процесс может быть продолжен при увеличении размерности элементов (p-симплексов), составляющих результирующую дополнительную сеть, до тех пор, пока все n-мерное пространство не окажется заполненным n+1 различными сетями (начальная система точек может рассматриваться как 0-симплекс). Такая всеобъемлющая структура, составленная из 0-,1-,2-,...n-мерных взаимосвязанных сетей в комбинаторной топологии называется полиэдром. Однако, в комбинаторной топологии не существует понятия "импеданса", точно также, как "токов" и "напряжений", а Кроном была принята точка зрения, что "площадь" каждого р-симплекса представляет его импеданс.
Далее, для полноты описания n-мерного пространства Крон ввел также понятие взаимно-ортогонального первичному "двойственного" ему полиэдра. С каждым р-симплексом первичного полиэдра оказывается связан n-р симплекс двойственного полиэдра и эти два симплекса представляют некоторую часть n-мерного пространства и теперь окружение отдельной точки полностью описывается n+1 различными удвоенными симплексами разной размерности, окружающими точку.
Таким образом, принимается, что два "неоживленных" полиэдра: первичный и двойственный, более полно представляют набор независимых переменных, даже в том случае, когда задано сравнительно мало точек. Однако, теперь соседнее окружение каждой точки поставляет более богатую информацию для исследования.
Задача состояла в том, чтобы в соответствии с принятой методологией "оживить" полученную полиэдральную сеть. Дело в том, что электрический ток не может протекать в полиэдре, так как векторы тока при переходе через границы сетей различной размерности не удовлетворяют теореме Стокса (линейный интеграл вектора по замкнутой траектории должен быть равен поверхностному интегралу от ротора вектора). Однако, этой теореме удовлетворяет полный набор уравнений Максвелла. Следовательно, полная электромагнитная волна, характеризуемая четырьмя типами адаптивных параметров e, h, b, d, может []няться через полиэдр и двойственный ему полиэдр.
Пытаясь удовлетворить теорему Стокса при переходе волны через сети разной размерности, Крон установил факт (хорошо известный в геометрии), что четно-мерные пространства ведут себя отлично от нечетно-мерных пространств и, поэтому в полиэдре необходимо ввести две полные сети разной физической природы для генерации одной электромагнитной волны. В связи с этим Крон ввел обобщение, что все четно-мерные сети строятся из магнитного материала, а все нечетно-мерные сети из диэлектрического материала. В двойственном полиэдре физическая роль пространств четной и нечетной размерности взаимно обращена.
Таким образом, для распространения одной электромагнитной волны необходимо две сети размерности p и р-1 (четная и нечетная), поэтому n-мерный полиэдр и двойственный полиэдр заключают в себе последовательность n/2 пространственных волн, каждая из которых распространяется через пространства возрастающей размерности.
Построенная полиэдральная структура представляет собой многомерный пространственный фильтр, обладающий фиксированным набором собственных частот. И, если задаться целью смоделировать (подогнать) какую-либо функцию, то с наименьшей ошибкой эта задача была бы решена для функций близких к собственным решениям, соответствующим этому определенному набору частот.
Крон задался вопросом: а нельзя ли построить такой многомерный пространственный фильтр, с помощью которого можно было бы подгонять не одну, а большое число функций одновременно или, другими словами, нельзя ли построить такую структуру, которая может осциллировать не только при одном определенном наборе частот, а при всех возможных частотах. Такая структура должна отличаться от обычного фильтра, который имеет дискретный спектр, тем, что она должна иметь непрерывный спектр.
Обнаружилось, что эта задача может быть решена, если поместить прямой и двойственный полиэдр в стационарную магнитогидродинамическую плазму, которую сопровождают четыре дополнительных адаптивных параметра, характеризующие плотности электрических зарядов, магнитных потоков, и соответствующие токи (re, rm, Je, Jm). Наличие теперь уже восьми типов адаптивных параметров в каждой р-сети еще не гарантирует, что такая структура будет способна осциллировать. Необходимо еще, чтобы различные прямые и двойственные сети были связаны идеальными трансформаторами. Такая немеханическая осциллирующая структура (не содержащая скоростей и моментов) была названа Кроном "осциллирующим полиэдром", который представляет собой простейшую возможную форму "самоорганизующегося автомата типа динамо", т.е. в основе действия которого лежит сложное взаимодействие обобщенных вращающихся электрических машин (динам). Осциллирующий автомат может служить моделью для решения множества статистических, экономических и физических задач большой размерности .
Крон продемонстрировал возможности самоорганизующегося автомата на примере подгонки (моделирования) шести произвольных функций по четырем заданным на плоскости точкам. В задаче требовалось, чтобы полиэдр мог воспроизвести все шесть предложенных функций плюс их первые и вторые производные, причем все одновременно, настолько точно, сколько возможно без изменения модели всякий раз, когда заменяется подгоняемая функция. Модель состояла из 13 структур, представляющих собой обобщенные вращающиеся электрические машины с 13 обычными и 13 квадратичными осями. В частности, 4 машины представляли функцию, 6 - ее первые дифференциалы и 3 - вторые дифференциалы.
Расчеты показали очень высокую точность подгонки, особенно в случае осциллирующего полиэдра. Важно подчеркнуть, что все шесть функций дали результаты с одинаковой точностью без изменения модели, когда изменялись функции, для которых производились оценки. Большое число адаптивных параметров (волн) автоматически приспосабливались к изменению граничных условий. Таким образом, самоорганизующийся полиэдральный автомат является в сущности универсальной моделью, способной оценивать любое число функций, причем всех одновременно, когда имеется фиксированный набор данных (матриц данных или независимых переменных).
Евклидов полиэдральный автомат с "прямыми" p-симплексами может применяться прежде всего для получения численных решений в многомерных задачах, таких как многомерная подгонка кривых, интерполяция, сглаживание данных, обобщенный гармонический анализ и др. С помощью осциллирующего полиэдра могут также изучаться процессы нелинейного программирования, проблемы надежности, распознавания образов и др. Дальнейший путь обобщения, предложенный Кроном, состоит в том, чтобы погрузить полиэдры в движущуюся магнитогидродинамическую плазму. В этом случае "прямые" линии, плоскости, кубы и т.д. в полиэдре становятся "кривыми" линиями, плоскостями, кубами. То есть, обычные евклидовы пространства (и симплексы) с метрикой, задаваемой элементами сети заменяются на неевклидовы, римановы или неримановы симплексы с помощью "аффинных связей" различных типов. Эти искривленные элементы сети вызывают появление новых параметров, характеризующих их кривизну и кручение.
Такой сложный автомат пригоден прежде всего для изучения самой магнитогидродинамической плазмы. Появляется возможность анализировать многие явления, происходящие в плазме, исходя не только из обычного полевого, а также и дискретного описания.
Полиэдральная структура, погруженная в многомерную жидкость, рассматривается как стационарная система координат, на которую проецируются движущиеся частицы и волны (точнее говоря, их линейные, поверхностные, объемные и т.д. интегралы). Хотя полиэдр и плазма в отдельности описываются сравнительно небольшим числом переменных, тем не менее дополнительные многомерные р-сети дают подробную информацию относительно всех производных в различных направлениях всех действующих поверхностей. Каждый p-симплекс может быть детально рассмотрен на основе изучения распределения p-мерного поля с помощью тензоров ранга "p".
Полное описание плазмы может быть заменено рассмотрением последовательности многомерных сетей переноса увеличивающеюся размерности. Сети связывают в одну действующую систему большое число многомерных вращающихся электрических машин, возбужденных электростатическими и магнитными течениями и имеющими жидкостные или газообразные роторы, каждый из которых имеет мгновенные скорости, моменты и другие атрибуты.
Тензорные понятия могут быть использованы для изучения устойчивости плазмы, рассматриваемой в виде сетей генерирования, передачи и распределения различных видов энергии. Уже разработанные тензорные понятия указывают на существование новых типов стабилизирующих сил, которые не учитываются обычными нетензорными методами и которые могут быть неизвестны инженерам-практикам.
Едва ли не самым перспективным направлением для развития концепции полиэдрального волнового автомата Крона является его идея, что полиэдр в задачах когнитивного типа (таких как, распознавание образов и др.) может играть роль "искусственного мозга", в котором каждый "нейрон" представлен магнитогидродинамическим генератором (обобщенной вращающейся электрической машиной). Такой тип искусственного мозга (динамо-тип или тип "энергетической сети") базируется на принципиально иной основе, чем ныне развиваемые модели искусственного мозга на основе коммутационных сетей (или сетей переключения).
По этим исследованиям мало публикаций, хотя в различных работах последних лет Крон в общем виде обсуждал принципы и полученные результаты. Сам Крон считал эту часть своей работы венцом своих исследований, особенно идею "кристаллического компьютера", использующую аналогию между оптическими свойствами кристалла при воздействии на него источника света и математическими свойствами многомерного полиэдра, погруженного в плазму.
Очень важно то обстоятельство, что полиэдральная система допускает статистическую интерпретацию, а именно "неоживленная сеть" представляет моменты функций распределения различного типа, а распространяющиеся волны могут трактоваться как представление средних, вариаций, корреляционных функций, спектральных плотностей и многих других понятий.
Для описания большого числа вращающихся электрических машин Крон широко использовал понятия, имеющие в своей основе статистическую природу, такие как граничная и свободная энергия, энтропия, термодинамическая плотность и др.
Отсюда просматривается чрезвычайно интересная связь между самоорганизующимися полиэдральными сетями Крона и теми плодотворными идеями, которые разрабатываются лауреатом Нобелевской премии И.Пригожиным, получившие в последнее время распространение среди представителей самых различных наук и направлений.
Суть, развиваемого Пригожиным (специалистом по неравновесным термодинамическим системам) подхода, выражена в названии одной из его самых известных книг - "Порядок из хаоса". Им убедительно показано, при определенных условиях открытые неравновесные системы, обменивающиеся с внешней средой потоками энергии, могут самопроизвольно переходить из беспорядочного, неорганизованного состояния в упорядоченную, организованную систему, и могут пребывать в таком состоянии, пока не изменятся условия. Таким образом, адаптивные полиэдры Крона, реализующие нелинейные, многомерные статистические явления способны служить идеальными моделями для изучения таких сложных систем, переходящих от неупорядоченного к организованному состоянию.
Адаптивные полиэдры, переводящие любые (в том числе, хаотические) пространства состояний в "автоматически" организуемые пространства решений могут служить моделями для быстро развивающихся в последнее время теорий , использующих такие понятия, как "фракталы" или "управляемый хаос".
Вообще, тензорная методология Крона предоставляет неограниченные возможности для построения самых разнообразных моделей, и ценность их состоит не только в том, что появляется единый алгоритм для их рассмотрения, но и в возможности получения нового знания.
Тензорный подход может также применяться для решения такой важной задачи, как создание баз данных и знаний (тензорные банки данных). Различные признаки какого-либо массива информации могут рассматриваться как компоненты (проекции) тензорной сущности в ту или иную систему координат (систему знаний). Переход от одного массива к другому при изменении признака, по которому идет запрос, может осуществляться на основе правил тензорного преобразования, исключая тем самым необходимость поиска информации всякий раз заново. Возможность хранения готовых решений для отдельных подсистем и осуществление при необходимости синтеза решений создает базу для создания и управления системами автоматизации проектирования новых технических средств и технологий, включая автоматизированное проектирование робототехнических систем.
Хотя Крон непосредственно мало занимался исследованиями в области управления, его идеи сформировали важную часть концептуальных понятий.
Принципиальные системные понятия, такие, как идея изменения, существование альтернативных методов достижения результатов, сильное влияние окружения и другие, находят адекватное отражение в теории Крона.
Перечень примеров применения тензорной методологии можно было бы неограниченно продолжить, но уже представленный обзор дает достаточно полное представление о мощи, гибкости и широте тензорного подхода к решению сложных систем. Автор убежден, что необходимо продолжить изучение научного наследия Г.Крона, особенно его работ по самоорганизующимся полиэдрам, развить его методы тензорного анализа и синтеза сетей как единой модельной основы, сделать их доступными для широкого круга специалистов.